Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} + 6x\,\,\,\,\,khi\,x \ge 2\\ \frac{2}{{2x - 5}}\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x < 2 \end{array} \right.\). Tích phân \(I=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\frac{f({{\ln }^{2}}x)}{x\ln x}}dx\) bằng
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét \(I=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\frac{f({{\ln }^{2}}x)}{x\ln x}}dx\).
Đặt \(u = {\ln ^2}x\) \( \Rightarrow du = \frac{{2\ln x}}{x}dx = \frac{{2{{\ln }^2}x}}{{x\ln x}}dx = \frac{{2u}}{{x\ln x}}dx \Rightarrow \frac{{dx}}{{x\ln x}} = \frac{{du}}{{2u}}.\)
Đổi cận : \(\left\{ \begin{array}{l} x = e \Rightarrow u = 1\\ x = {e^2} \Rightarrow u = 4 \end{array} \right.\).
Khi đó
\(\begin{array}{l} I = \frac{1}{2}\int\limits_1^4 {\frac{{f(u)}}{u}} du = \frac{1}{2}\int\limits_1^4 {\frac{{f(x)}}{x}} dx = \frac{1}{2}\left( {\int\limits_1^2 {\frac{{f(x)}}{x}} dx + \int\limits_2^4 {\frac{{f(x)}}{x}} dx} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {\int\limits_1^2 {\frac{2}{{x\left( {2x - 5} \right)}}} dx + \int\limits_2^4 {\frac{{3{x^2} + 6x}}{x}} dx} \right) = \frac{1}{2}\left( {\int\limits_1^2 {\frac{2}{{x\left( {2x - 5} \right)}}} dx + \int\limits_2^4 {\left( {3x + 6} \right)} dx} \right)\\ = \frac{1}{2}\left[ {\frac{4}{5}\int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{2x - 5}} - \frac{1}{{2x}}} \right)} dx + \left. {\left( {\frac{{3{x^2}}}{2} + 6x} \right)} \right|_2^4} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\frac{4}{5}.\frac{1}{2}\left. {\ln \left| {\frac{{2x - 5}}{{2x}}} \right|} \right|_1^2 + 30} \right]\\ = \frac{1}{2}\left[ {\frac{2}{5}\left( { - \ln 6} \right) + 30} \right] = 15 - \frac{1}{5}\ln 6 \end{array}\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Tô Hiến Thành lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới
.jpg.png)
Điểm cực đại của hàm số đã cho là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu đạo hàm như sau
.png)
Hàm số \(f\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=1+i\) và \({{z}_{2}}=2+i\). Trên mặt phẳng tọa độ, giả sử \(A\) là điểm biểu diễn của số phức \({{z}_{1}}\), \(B\) là điểm biểu diễn của số phức \({{z}_{2}}\). Gọi \(I\)là trung điểm \(AB\). Khi đó, \(I\) biểu diễn cho số phức
-
Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) ?
-
Cho các số thực dương \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(\log a=x,\,\,\log b=y\) . Tính \(P=\log \left( \frac{{{a}^{3}}}{{{b}^{5}}} \right)\)
-
Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng đi qua \(A\left( -1\,;\,1\,;\,3 \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):6x+3y-2z+18=0\) có phương trình tham số là
-
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu tâm \(I\left( 2\,;\,-3\,;\,1 \right)\) và đi qua điểm \(A\left( 6\,;\,1\,;\,3 \right)\) có phương trình là
-
Công thức tính thể tích \(V\) của khối trụ có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\) là:
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\), đồ thị của hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) là đường cong trong hình bên. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}} \right)-2{{x}^{2}}\) trên đoạn \(\left[ -1;2 \right]\) lần lượt là
-
Có bao nhiêu số nguyên a \(\left( a>3 \right)\) để phương trình \(\log \left[ {{\left( {{\log }_{3}}x \right)}^{\log a}}+3 \right]={{\log }_{a}}\left( {{\log }_{3}}x-3 \right)\) có nghiệm \(x>81\).
-
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{3x+1}{1-x}\) là
-
Trong không gian, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x+3y-2z+2=0\) và đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-4}{1}\). Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( 1\,;2\,;-1 \right)\), cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) và đường thẳng d lần lượt tại B và C sao cho C là trung điểm AB là
-
Trong không gian Oxyz cho \(\Delta ABC\), biết \(A\left( 1\,;\,-4\,;\,2 \right), B\left( 2\,;\,1\,;\,-3 \right), C\left( 3\,;\,0\,;\,-2 \right)\). Trọng tâm \(G\) của \(\Delta ABC\) có tọa độ là
-
Đạo hàm của hàm số \(y={{a}^{x}}\,(a>0,\,a\ne 1)\) là
-
Cho số phức \(z=1-2i\). Phần ảo của số phức liên hợp với \(z\) là
-
Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(|z|={{2021}^{2}}\) và \(\left( z+2021i \right)\left( \bar{z}-\frac{1}{2021} \right)\) là số thuần ảo?
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có \({{u}_{1}}=3\) và công sai \(d=5\). Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng
-
Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương m sao cho có đúng 5 cặp số nguyên \(\left( x\,;\,y \right)\) thoả mãn \(0\le x\le m\) và \({{\log }_{3}}\left( 3x+6 \right)-2y=\frac{{{9}^{y}}-x}{2}\).
-
Nghiệm của phương trình \({{3}^{4x-2}}=81\) là
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều, \(SA\bot \left( ABC \right)\). Mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) cách \(A\) một khoảng bằng \(a\) và hợp với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) một góc \(30{}^\circ \). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng
