Cho hàm số \(y=\frac{2x-1}{x-2}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Tiếp tuyến \(\Delta \) của \(\left( C \right)\) tại M cắt các đường tiệm cận tại A và B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. Khi đó tiếp tuyến \(\Delta \) của \(\left( C \right)\) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích lớn nhất thuộc khoảng nào?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(M\left( {{x}_{0}};\frac{2{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}-2} \right)\in \left( C \right)\,,\,\left( {{x}_{0}}\ne 2 \right)\). Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng
\(\Delta :y=-\frac{3}{{{({{x}_{0}}-2)}^{2}}}(x-{{x}_{0}})+\frac{2{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}-2}\).
Giao điểm của \(\Delta \) với tiệm cận đứng là \(A\left( 2;\,\,\frac{2{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-2} \right)\).
Giao điểm của \(\Delta \) với tiệm cận ngang là \(B\left( 2{{x}_{0}}-2;\,\,2 \right)\).
Xét \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{A}}+{{x}_{B}}=2+2{{x}_{0}}-2=2{{x}_{0}} \\ & {{y}_{A}}+{{y}_{B}}=\frac{2{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-2}+2=2.\frac{2{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}-2}=2{{y}_{0}} \\ \end{align} \right.\)⇒ M là trung điểm của AB.
\(\Delta \,IAB\) vuông tại I nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB.
\(\Rightarrow S=\pi {{R}^{2}}=\pi I{{M}^{2}}=\pi \left[ {{({{x}_{0}}-2)}^{2}}+{{\left( \frac{2{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}-2}-2 \right)}^{2}} \right]=\pi \left[ {{({{x}_{0}}-2)}^{2}}+\frac{9}{{{({{x}_{0}}-2)}^{2}}} \right]\ge 6\pi \)
Dấu ''='' xảy ra khi \({{({{x}_{0}}-2)}^{2}}=\frac{9}{{{({{x}_{0}}-2)}^{2}}}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}_{0}}=\,\,\,\,\sqrt{3}+2\Rightarrow {{y}_{0}}=\,\,\,\,\,\sqrt{3}+2 \\ & {{x}_{0}}=-\sqrt{3}+2\Rightarrow {{y}_{0}}=-\sqrt{3}+2 \\ \end{align} \right.\).
Với \({{x}_{0}}=\,\,\,\,\sqrt{3}+2\Rightarrow \Delta :y=-x+2\sqrt{3}+4\) cắt 2 trục tọa độ tại \(E\left( 0;\,\,2\sqrt{3}+4 \right)\) và \(F\left( \,2\sqrt{3}+4;\,\,0 \right)\), suy ra \({{S}_{OEF}}=\frac{1}{2}\,OE.OF=14+8\sqrt{3}\approx 27,8564\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Dương Văn Thì
Câu hỏi liên quan
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}-1 \right).lo{{g}_{4}}\left( {{2.5}^{x}}-2 \right)=m\) có nghiệm \(x\ge 1.\)?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên dưới đây.
.PNG)
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\,\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{2}\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,x+y+z-1=0\). Gọi d là đường thẳng nằm trên \(\left( \alpha \right)\) đồng thời cắt đường thẳng \(\Delta \) và trục Oz. Một véctơ chỉ phương của d là:
-
Đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-3}{x-1}\) có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:
-
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(AB=1,AC=2,A{A}'=3\) và \(\widehat{BAC}=120{}^\circ \). Gọi M, N lần lượt là các điểm trên cạnh \(B{B}', C{C}'\) sao cho \(BM=3{B}'M, CN=2{C}'N\). Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng \(\left( A'BN \right)\).
-
Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(\left( C \right):y=-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2m-1\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt là
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 1, SA vuông góc với đáy, góc giữa mặt bên SBC và đáy bằng \(60{}^\circ \). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu?
-
Gọi \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) là nghiệm của phương trình \({{\log }_{x}}2-{{\log }_{16}}x=0\). Khi đó tích \({{x}_{1}}.{{x}_{2}}\) bằng:
-
Phương trình \({{3}^{1-x}}=2+{{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}\) có bao nhiêu nghiệm âm?
-
Tập giá trị của hàm số \(y={{a}^{x}}\,\,\,(a>0;a\ne 1)\) là:
-
Gọi \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là hai nghiệm của phương trình \({{z}^{2}}-2z+6=0\). Trong đó \({{z}_{1}}\) có phần ảo âm. Giá trị biểu thức \(M=|{{z}_{1}}|+|3{{z}_{1}}-{{z}_{2}}|\) là:
-
Một hợp tác xã nuôi cá thí nghiệm trong hồ. Người ta thấy rằng nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng \(P(n)=480-20n\). Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều gam cá nhất?
-
Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên tạo với đáy góc \(45{}^\circ \). Diện tích toàn phần của hình chóp trên theo a là.
-
Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường \({{y}^{2}}=4x\) và đường thẳng x=4. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi D xoay quanh trục Ox là:
.PNG)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\left( 2;1;2 \right)\) đồng thời cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là.
-
Cho hình trụ có hai đường tròn đáy \(\left( O;R \right)\) và \(\left( {O}';R \right)\), chiều cao \(h=\sqrt{3}R\). Đoạn thẳng AB có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy hình trụ sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là \(\alpha =30{}^\circ \). Thể tích tứ diện \(ABO{O}'\) là:
-
Cắt khối lăng trụ \(MNP.{M}'{N}'{P}'\) bởi các mặt phẳng \(\left( M{N}'{P}' \right)\) và \(\left( MN{P}' \right)\) ta được những khối đa diện nào?
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x-3z+2=0\). Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\)?
-
Trong không gian với hệ tọa độ \({Oxyz}\), cho hai điểm \(M\left( 2;1;-2 \right)\) và \(N\left( 4;-5;1 \right)\). Tìm độ dài đoạn thẳng \({MN}\).
-
Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện |z-2-4i|=|z-2i|. Số phức z có môđun nhỏ nhất là?
