Cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 4{m^3}.\) Với giá trị nào của tham số \(m\) để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị \(A,\;B\) sao cho \(AB = \sqrt {20} ?\)
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(y' = 3{x^2} - 6mx = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x - 2m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2m\end{array} \right.\)
Để hàm số đã cho có 2 điểm cực trị thì phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow 2m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 0\).
Với \(x = 0 \Rightarrow y = 4{m^3} \Rightarrow A\left( {0;4{m^3}} \right)\).
Với \(x = 2m \Rightarrow y = 8{m^3} - 3m.4{m^2} + 4{m^3} = 0 \Rightarrow B\left( {2m;0} \right)\).
Khi đó ta có \(AB = \sqrt {4{m^2} + 16{m^6}} = \sqrt {20} \Leftrightarrow 4{m^2} + 16{m^6} = 20 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 1\\{m^2} = 0\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \pm 1\;\left( {tm} \right).\)
Vậy \(m = \pm 1\).
Chọn C.