Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Cho \(SC=a\), mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) tạo với mặt đáy một góc \(\alpha \). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) đạt giá trị lớn nhất là
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn B
Ta có \(\widehat{\left( \left( SBC \right),\left( ABC \right) \right)}=\left( \widehat{SC,AC} \right)=\widehat{SCA}=\alpha \)
Xét \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\) có
\(\left\{ \begin{align} & SA=SC.\sin \alpha =a\sin \alpha \\ & AC=SC.\cos \alpha =a\cos \alpha \\ \end{align} \right.\)
\(\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SA\)\( =\frac{1}{3}.\left( \frac{1}{2}A{{C}^{2}} \right).SA\)
\(=\frac{1}{6}.{{\left( a\cos \alpha \right)}^{2}}.a\sin \alpha \)\( =\frac{{{a}^{3}}}{6}{{\cos }^{2}}\alpha .\sin \alpha .\)
\({{V}_{S.ABC}}\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi biểu thức
\(P={{\cos }^{2}}\alpha .\sin \alpha .=\left( 1-{{\sin }^{2}}\alpha \right).\sin \alpha \) đạt giá trị lớn nhất.
Đặt \(t=\sin \alpha \).
Vì \(0<\alpha <90{}^\circ \) nên \(0<\sin \alpha <1\)
\(\Rightarrow 0<t<1\)
Ta có \(P=f\left( t \right)=\left( 1-{{t}^{2}} \right)t=-{{t}^{3}}+t\) xác định và liên tục trên \(\left( 0;1 \right)\).
\({f}'\left( t \right)=-3{{t}^{2}}+1\)\( \Rightarrow {f}'\left( t \right)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=\frac{\sqrt{3}}{3}\text{ (nhan)} \\ & t=-\frac{\sqrt{3}}{3}\text{ (loai) } \\ \end{align} \right.\)
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có \(\underset{\left( 0;1 \right)}{\mathop{\max f\left( t \right)}}\,=\frac{2\sqrt{3}}{9}\) khi \(t=\frac{\sqrt{3}}{3}\).
Vậy \(\max {{V}_{S.ABC}}=\frac{{{a}^{3}}}{6}.{{P}_{\max }}\)\( =\frac{{{a}^{3}}}{6}.\frac{2\sqrt{3}}{9}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{27}\) khi và chỉ khi \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}\).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Phú Lâm