Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác với \(AB=2cm,AC=3cm,\angle BAC={{60}^{0}}\), \(SA\bot \left( ABC \right)\). Gọi \({{B}_{1}},{{C}_{1}}\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Tính thể tích khối cầu đi qua năm điểm A,B,C,\({{B}_{1}},{{C}_{1}}\)
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, đường kính AD.
Ta chứng minh O là tâm mặt câu đi qua 6 điểm \(A,B,C,{{B}_{1}},{{C}_{1}}\) và D:
Ta có: \(\left\{ \begin{matrix} CD\bot AC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ CD\bot SA(do\,\,\,SA\bot \left( ABC \right)) \\ \end{matrix}\Rightarrow CD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow CD\bot A{{C}_{1}} \right.\)
Do \(\left\{ \begin{matrix} A{{C}_{1}}\bot SC \\ A{{C}_{1}}\bot CD \\ \end{matrix}\Rightarrow A{{C}_{1}}\bot \right.\left( SCD \right)\Rightarrow A{{C}_{1}}\bot {{C}_{1}}D\)
\(\Rightarrow {{C}_{1}}\) thuộc mặt cầu tâm O đường kính AD
Tương tự, B1 thuộc mặt cầu tâm O đường kính AD
Hiển nhiên, A, B, D, C thuộc mặt cầu tâm O đường kính AD
⇒ O là tâm mặt cầu đi qua 6 điểm \(A,B,C,{{B}_{1}},{{C}_{1}},D\)
⇒ O là tâm mặt cầu đi qua 5 điểm \(A,B,C,{{B}_{1}},{{C}_{1}}\)
Tính bán kính R của mặt cầu đi qua 5 điểm \(A,B,C,{{B}_{1}},{{C}_{1}}\).
Xét tam giác ABC: \(BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC.cos\angle A}=\sqrt{4+9-2.2.3cos{{60}^{0}}}=\sqrt{7}\left( cm \right)\)
\({{S}_{ABC}}=\frac{AB.AC.BC}{4R}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin \angle A=>\frac{2.3\sqrt{7}}{4R}=\frac{1}{2}.2.3.\sin {{60}^{0}}\)
\(\Leftrightarrow \frac{3\sqrt{7}}{2R}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow R=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}\left( cm \right)\)
Thể tích khối cầu: \(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi {{\left( \sqrt{\frac{7}{3}} \right)}^{3}}=\frac{28\sqrt{7}\pi }{9\sqrt{3}}=\frac{28\sqrt{21}\pi }{27}\left( c{{m}^{3}} \right)\)
Câu hỏi liên quan
-
Đường cong trong hình dưới là đồ thị của một hàm số trong bố hàm số được liệt kê ở bốn phương án A,B,C,D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
.PNG)
-
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho phương trình \(f\left( x \right)=m\) có đúng hai nghiệm.
-
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-2018;2019] để hàm số \(y=m{{x}^{4}}+\left( m+1 \right){{x}^{2}}+1\) có đúng một điểm cực đại?
-
Cho \(f\left( 1 \right)=1,f\left( m+n \right)=f\left( m \right)+f\left( n \right)+mn\) với mọi \(mn\in {{N}^{*}}\). Tính giá trị của biểu thức \(T=\log \left[ \frac{f\left( 96 \right)-f\left( 69 \right)-241}{2} \right]\)
-
Cho hàm số \(y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\left( a\ne 0 \right)\) có bảng biến thiên dưới đây:
.PNG)
Tính P = a -2b +3c
-
Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O;r) và (O’;r). Khoảng cách giữa hai đáy là \(\text{OO}'=r\sqrt{3}\). Một hình nón có đỉnh O và có đáy là hình tròn (O’;r). Gọi S1 là diện tích xung quanh của hình trụ và S2 là diện tích xung quanh của hình nón. Tính tỉ số \(\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}\)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Mệnh đề nào sau đây đúng?
.PNG)
-
Giả sử \(m=-\frac{a}{b},a,b\in {{\mathbb{Z}}^{+}},\left( a,b \right)=1\) là giá trị thực của tham số m để đường thẳng d:y=-3x+m cắt đồ thị hàm số \(y=\frac{2x+1}{x-1}\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng \(\Delta :x-2y-2=0\) với O là gốc tọa độ. Tính a+2b.
-
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cạnh a, A’B tạo với mặt phẳng đáy góc 600. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình tròn S.ABCD là điểm I với
-
Biết rằng hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+28\) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ 0;4 \right]\) tại \({{x}_{0}}\).Tính \(P={{x}_{0}}+2018\)
-
Cho khối chóp có thể tích bằng 32cm3 và diện tích đáy bằng 16cm2. Chiều cao của khối chóp đó là
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K,M lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SA, SB, \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua K song song với AC và AM. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Gọi \({{V}_{1}}\) là thể tích của khối đa diện chứa đỉnh S và V2 là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}\).
-
Tìm tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{{1 - \ln x}}\)
-
Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Số nghiệm của phương trình \({2^{2{x^2} - 7x + 5}} = 1\) là
-
Tính giá trị biểu thức \(P=\frac{{{\left( 4+2\sqrt{3} \right)}^{2018}}.{{\left( 1-\sqrt{3} \right)}^{2017}}}{{{\left( 1+\sqrt{3} \right)}^{2018}}}\)
-
Tìm điểm cực đại \({{x}_{0}}\) của hàm số \(y={{x}^{3}}-3x+1\)
-
Cho a>0 và \(a\ne 1\). Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
