Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB=3,\,AD=4\) và các cạnh bên của hình chóp tạo với mặt đáy một góc \(60{}^\circ \). Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn C
Gọi \(O=AC\cap BD\). Khi đó, \(SO\) là trục của hình chóp \(S.ABCD\).
Gọi \(M\) là trung điểm của của \(SD\). Kẻ đường trung trực của cạnh \(SD\) cắt \(SO\) tại \(I\). Khi đó, \(I\) là tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\).
Ta có: \(\Delta SMI\sim \Delta SOD\) suy ra \(\frac{SM}{SO}=\frac{SI}{SD}=\frac{MI}{OD}\Rightarrow SI=\frac{SM.SD}{SO}=\frac{S{{D}^{2}}}{2\text{S}O}\).
Ta có: \(OD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=\frac{5}{2}\). Xét tam giác \(SOD\) vuông tại \(O\), ta có:
\(SO=\tan 60{}^\circ .O\text{D}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\), \(SD=\frac{OD}{\text{cos}\,\text{60}{}^\circ }=5\).
Suy ra \(SI=\frac{{{5}^{2}}}{2.\frac{5\sqrt{3}}{2}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\). Vậy \(V=\frac{4}{3}\pi {{\left( \frac{5\sqrt{3}}{3} \right)}^{3}}=\frac{500\sqrt{3}}{27}\pi \).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Sở GD&ĐT Bắc Ninh lần 1