Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữa nhật, \(AB=2,\,AD=2\sqrt{3}\), tam giác \(SAB\) cân tại \(S\)và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy, khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SC\)bằng \(3\). Tính thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) bằng
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(H\) là trung điểm của \(AB\) ta có:
\(\left. \begin{align} & \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\ & \left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)=AB \\ & SH\subset \left( SAB \right) \\ & SH\bot AB \\ \end{align} \right\}\\ \Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\)
Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\), ta có:
\(\left. \begin{align} & CD\bot HM \\ & \,CD\bot SH \\ \end{align} \right\}\)\(\Rightarrow CD\bot \left( SHM \right);\,CD\subset \left( SCD \right)\Rightarrow \left( SHM \right)\bot \left( SCD \right)\) theo giao tuyến \(SM\);
Ta có \(AB\text{//}CD\subset \left( SCD \right)\)\( \Rightarrow AB\text{//}\left( SCD \right)\);
\(\Rightarrow {{d}_{\left( AB,SC \right)}}\)\( ={{d}_{\left[ AB,\left( SCD \right) \right]}}\)\( ={{d}_{\left[ H,\left( SCD \right) \right]}}\) ;
Kẻ \(HK\bot SM\,\Rightarrow HK\bot \left( SCD \right)\Rightarrow {{d}_{\left[ H,\left( SCD \right) \right]}}=HK\);
Ta có \(\Delta SHM\)vuông tại \(H,\,\,HK\) là đường cao nên
\(\frac{1}{H{{K}^{2}}}\)\( =\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{M}^{2}}}\Rightarrow \,\frac{1}{S{{H}^{2}}}\)\( =\frac{1}{9}-\frac{1}{12}\)\( =\frac{1}{36}\Rightarrow SH=6\);
Vậy \({{V}_{S.ABCD}}\)\( =\frac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SH\)\( =\frac{1}{3}.2.2\sqrt{3}.6=8\sqrt{3}\).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Herman-Gmeiner