Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 3a,AD = DC = a. Gọi I là trung điểm của AD, biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60o. Gọi M điểm trên AB sao cho AM = 2a, tính khoảng cách giữa MD và SC.
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
+) Theo giả thiết ta có \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {SBI} \right) \bot (ABCD)\\ \left( {SCI} \right) \bot (ABCD)\\ SI = \left( {SBI} \right) \cap \left( {SCI} \right) \end{array} \right. \Rightarrow SI \bot (ABCD)\)
+) Vẽ \(IK \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SIK} \right) \Rightarrow \widehat {SKI}\) là góc giữa mặt phẳng (SBC) với mặt đáy nên \(\widehat {SKI} = 60^\circ \).
+) Vì \({S_{\Delta IDC}} = \frac{1}{2}DI.DC = \frac{{{a^2}}}{4},{S_{\Delta IAB}} = \frac{{3{a^2}}}{4}\). Suy ra \({S_{\Delta BIC}} = {S_{ABCD}} - \left( {{S_{\Delta ICD}} + {S_{\Delta IAB}}} \right) = {a^2}\).
+) Mặt khác \(BC = \sqrt {{{\left( {AB - CD} \right)}^2} + A{D^2}} = a\sqrt 5 \) và \({S_{\Delta IBC}} = \frac{1}{2}IK.BC.\) Suy ra \(IK = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\)
+) Trong tam giác vuông SIK ta có \(SI = IK.\tan 60^\circ = \frac{{2{\rm{a}}\sqrt {15} }}{5}\).
+) Vì AM = 2a nên \(BM = a \Rightarrow MD\,{\rm{//}}\,BC\), do đó \(d\left( {MD\,,\,\,SC} \right) = d\left( {MD\,,\,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {D\,,\,\left( {SBC} \right)} \right)\).
+) Gọi E là giao điểm của AD với BC, ta có \(\frac{{ED}}{{EA}} = \frac{{DC}}{{AB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow ED = \frac{1}{2}AD = ID\).
Do đó \(d\left( {D\,,\,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {I\,,\,\left( {SBC} \right)} \right)\).
+) Gọi H là hình chiếu của I lên SK ta có \(d\left( {I\,,\,\,\left( {SBC} \right)} \right) = IH\).
Trong tam giác vuông SIK, ta có: \(\frac{1}{{I{H^2}}} = \frac{1}{{S{I^2}}} + \frac{1}{{I{K^2}}} = \frac{5}{{12{a^2}}} + \frac{5}{{4{a^2}}} = \frac{5}{{3{a^2}}} \Rightarrow IH = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}.\)
Vậy \(d\left( {MD,SC} \right) = \frac{{a\sqrt {15} }}{{10}}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + z - 3 = 0\). Gọi (S) là mặt cầu có tâm I thuộc \(\Delta\) và tiếp xúc với (P) tại điểm H(1;-1;0). Phương trình của (S) là
-
Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [0;20] sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right) = \left| {\left| {2f\left( x \right) + m + 4} \right| - f(x) - 3} \right|\) trên đoạn [-2;2] không bé hơn 1?
.png)
-
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Trong không gian Oxyz, cho các vectơ \(\overrightarrow a = \left( { - 2;1;2} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( {1; - 1;0} \right)\). Tích vô hướng \(\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right).\overrightarrow b \) bằng
-
Cho hàm số \(f(x) = \frac{{\left( {m + 1} \right)\sqrt { - 2x + 3} - 1}}{{ - \sqrt { - 2x + 3} + \frac{2}{m}}}\) (m khác 0 và là tham số thực). Tập hợp m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \frac{1}{2};\,\,1} \right)\) có dạng \(S = \left( { - \infty ;\,\,a} \right) \cup \left( {b;\,\,c} \right] \cup \left[ {d;\,\, + \infty } \right)\), với a, b, c, d là các số thực. Tính P = a - b + c - d.
-
Cho hàm số bậc ba f(x) có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(x) + 1 = m có 3 nghiệm phân biệt là
.png)
-
Cho phương trình \(\sqrt {\log _3^2x - 4{{\log }_3}x - 5} = m\left( {{{\log }_3}x + 1} \right)\) với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm thuộc \(\left[ {27; + \infty } \right)\).
-
Xét tất cả các số thực dương a và b thỏa mãn \({\log _3}a = {\log _{27}}\left( {{a^2}\sqrt b } \right)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Với số thực dương a tùy ý, \({\log _3}\sqrt a \) bằng
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình dưới đây?
.png)
-
Có tất cả bao nhiêu cặp số (a;b) với a, b là các số nguyên dương thỏa mãn: \({\log _3}\left( {a + b} \right) + {\left( {a + b} \right)^3} = 3\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 3ab\left( {a + b - 1} \right) + 1\).
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Khẳng định nào sau đây đúng
-
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x - 6{x^2}\) là
-
Tìm tập xác định của hàm số \(y = {e^{\log \left( { - {x^2} + 3x} \right)}}\)
-
Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(1;2;3) trên mặt phẳng (Oyz) có tọa độ là
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({9^{\log _9^2x}} + {x^{{{\log }_9}x}} \le 18\) là
-
Nếu \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 5\) và \(\int\limits_1^2 {\left[ {2f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 13\) thì \(\int\limits_1^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng
-
Diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r bằng
-
Cho hàm số y = f(x) và f(x) > 0, với mọi x thuộc R. Biết hàm số y = f'(x) có bảng biến thiên như hình vẽ và \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{137}}{{16}}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ { - 2020\,;\,\,2020} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = {e^{ - {x^2} + 4mx - 5}}.f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\).
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(y = {e^x}\left( {1 - \frac{{{e^{ - x}}}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)\) là
