Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a.\) Tam giác \(SAB\) đều và nằm trong một mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(H,\,K\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\) và \(AD\). Tính sin của góc tạo bởi giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SHK} \right)\)
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\Delta SAB\) đều \( \Rightarrow SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Gọi \(I = AC \cap HK\)
Do ABCD là hình vuông \( \Rightarrow AC \bot BD\).
Mà \(HK//BD\) (HK là đường trung bình của tam giác \(ABD\))
\( \Rightarrow AC \bot HK \Rightarrow AI \bot HK\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AI \bot HK\\AI \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AI \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow SI\) là hình chiếu của \(SA\) lên \(\left( {SHK} \right)\).
\( \Rightarrow \angle \left( {SA;\left( {SHK} \right)} \right) = \angle \left( {SA;SI} \right) = \angle ISA\).
Gọi \(O = AC \cap BD\), áp dụng định lí Ta-lét ta có : \(\frac{{AI}}{{OA}} = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow AI = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{4}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\).
Tam giác SIA vuông tại I \( \Rightarrow \sin \angle ISA = \frac{{AI}}{{SA}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{4}}}{a} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
Vậy \(\sin \angle \left( {SA;\left( {SHK} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
Chọn B.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Võ Chí Công