Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, gọi M là trung điểm của AB. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy \(\left( ABCD \right)\), biết \(SD=2a\sqrt{5}\), SC tạo với mặt đáy \(\left( ABCD \right)\) một góc \(60{}^\circ \). Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SA.
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Dựng hình bình hành AMDI. Khi đó: \(MD//AI\Rightarrow MD//\left( SAI \right)\)
\(\Rightarrow d\left( MD,AI \right)=d\left( MD,\left( SAI \right) \right)=d\left( M,\left( SAI \right) \right)\)
Dựng \(MH\bot AI\) và \(MK\bot SH\,\,\,\left( 1 \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} AI \bot MH\\ AI \bot SM\,\,\left( {do\,SM \bot \left( {ABCD} \right)} \right) \end{array} \right. \Rightarrow AI \bot \left( {SMH} \right) \Rightarrow AI \bot MK\,\,\,\left( 2 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\)suy ra: \(MK\bot \left( SAI \right)\Rightarrow d\left( M,\left( SAI \right) \right)=MK\)
+ Ta có: \(SM\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow MC\) là hình chiếu của SC trên \(\left( ABCD \right)\) nên \(\left( \widehat{SC,\left( ABCD \right)} \right)=\widehat{SCM}=60{}^\circ \)
+ Xét tam giác vuông SMC và SMD có: \(SM=\sqrt{S{{D}^{2}}-M{{D}^{2}}}=MC.\tan 60{}^\circ \,\,\left( 3 \right)\)
Mặt khác: MC=MD (ABCD là hình vuông).
Suy ra: \(\left( 3 \right)\Leftrightarrow S{{D}^{2}}-M{{C}^{2}}=3M{{C}^{2}}\Leftrightarrow MC=a\sqrt{5}=MD\Rightarrow SM=a\sqrt{15}\).
Đặt \(MA=x\,\,\,\,\left( x>0 \right)\Rightarrow \,AD=2x\)
Xét tam giác MAD vuông tại A có \(M{{A}^{2}}=M{{D}^{2}}-A{{D}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{\left( a\sqrt{5} \right)}^{2}}-{{\left( 2x \right)}^{2}}\Rightarrow x=a\).
.png)
Lại có: \(\Delta MAH\backsim \Delta AID\Rightarrow MH=\frac{AD.MA}{AI}=\frac{2a}{\sqrt{5}}\).
Khi đó: \(\frac{1}{M{{K}^{2}}}=\frac{1}{M{{H}^{2}}}+\frac{1}{S{{M}^{2}}}\Rightarrow MK=\frac{2a\sqrt{15}}{\sqrt{79}}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Thái Bình Dương lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho số phức z=-5+2i. Phần thực và phần ảo của số phức \(\bar{z}\) lần lượt là
-
Đường thẳng y=-3x cắt đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-2\) tại điểm có tọa độ \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) thì
-
Cho số phức \(z,\,{{z}_{1}},\,{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}-4-5i \right|=\left| {{z}_{2}}-1 \right|=1\) và \(\left| \overline{z}+4i \right|=\left| z-8+4i \right|\). Tính \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\,\,\) khi \(P=\left| z-{{z}_{1}} \right|\,+\left| z-{{z}_{2}} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất
-
Cho a,b,c,d,e,f là các số thực thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l} {\left( {d - 1} \right)^2} + {\left( {e - 2} \right)^2} + {\left( {f - 3} \right)^2} = 1\\ {\left( {a + 3} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {c^2} = 9 \end{array} \right..\) Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F=\sqrt{{{\left( a-d \right)}^{2}}+{{\left( b-e \right)}^{2}}+{{\left( c-f \right)}^{2}}}\) lần lượt là M,m. Khi đó, M-m bằng
-
Một chi tiết máy được thiết kế như hình vẽ bên.
.png)
Các tứ giác ABCD, CDPQ là các hình vuông cạnh \(2,5\,\text{cm}\). Tứ giác ABEF là hình chữ nhật có \(BE=3,5\,\text{cm}\). Mặt bên PQEF được mài nhẵn theo đường parabol \(\left( P \right)\) có đỉnh parabol nằm trên cạnh EF. Thể tích của chi tiết máy bằng
-
Tìm tập xác định D của hàm số \(y={{\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)}^{\frac{1}{3}}}\).
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( 0 \right)=\frac{1}{8}\) và \({f}'\left( x \right)=x{{\cos }^{2}}x, \forall x\in \mathbb{R}\). Tích phân \(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\frac{8f\left( x \right)-\cos 2x}{x}\text{d}x}\) bằng
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({{\log }_{3}}\left( 36-{{x}^{2}} \right)\ge 3\) là
-
Một tổ có 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh từ tổ đó để giữ hai chức vụ tổ trưởng và tổ phó.
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+10y-6z+49=0\). Tính bán kính R của mặt cầu \(\left( S \right)\).
-
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2{{x}^{2}}-3x-7}}>{{3}^{2x-21}}\) là
-
Cho \(\int\limits_{1}^{\text{e}}{\left( 2+x\ln x \right)}\text{d}x=a{{\text{e}}^{2}}+b\text{e}+c\) với a, b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\frac{2x+1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\) trên khoảng \(\left( -2\,;\,+\infty \right)\) là
-
Ông An muốn làm một cánh cửa bằng sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ. Biết rằng đường cong phía trên là một parabol, tứ giác ABCD là hình chữ nhật. Giá của cánh cửa sau khi hoàn thành là 900 000 đồng/m2. Số tiền mà ông An phải trả để làm cánh cửa đó bằng
.jpg.png)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \({f}'\left( x \right)=x\left( x+1 \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\). Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ -1;2 \right]\) là
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 2;-1;5 \right),B\left( 1;-2;3 \right)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua hai điểm A, B và song song với trục Ox có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}=\left( 0;a;b \right)\). Khi đó tỉ số \(\frac{a}{b}\) bằng
-
Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
-
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, \(SA=a\sqrt{6}\), SA vuông góc với đáy, mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) tạo với đáy góc \(\varphi \) sao cho \(\tan \varphi =\sqrt{6}\). Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Tính thể tích khối tứ diện SOGC.
-
Cho hình lăng trụ đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\). Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng \(\left( AB{C}' \right)\) bằng a, góc giữa hai mặt phẳng \(\left( AB{C}' \right)\) và \(\left( BC{C}'{B}' \right)\) bằng \(\alpha \) với \(\cos \alpha =\frac{1}{2\sqrt{3}}\). Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\).
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, BC=2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA=\sqrt{15}a\). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng
