Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) và \(AB = AC = a.\) Biết góc giữa hai đường thẳng \(AC'\) và \(BA'\) bằng \({60^0}\) . Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(D\) là đỉnh thứ tư của hình bình hành \(A'B'DC'\).
Do \(\left\{ \begin{array}{l}A'B' = A'C'\\\angle B'A'C' = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow A'B'DC'\) là hình vuông.
\( \Rightarrow AC'//BD \Rightarrow \angle \left( {AC';BA'} \right) = d\left( {BD;BA'} \right) = {60^0}\) và \(B'D = a\).
Gọi \(O = A'D \cap B'C' \Rightarrow O\) là trung điểm của \(A'D\).
\(\Delta A'B'C'\) vuông cân tại \(A' \Rightarrow A'O = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow A'D = a\sqrt 2 \).
.JPG)
Đặt \(BB' = x \Rightarrow A'B = \sqrt {{x^2} + {a^2}} ;\,\,BD = \sqrt {{x^2} + {a^2}} \).
TH1: \(\angle A'BD = {60^0}\).
Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(A'BD\) ta có:
\(\begin{array}{l}A'{D^2} = A'{B^2} + B{D^2} - 2A'B.BD.\cos {60^0}\\ \Rightarrow 2{a^2} = 2{x^2} + 2{a^2} - 2\left( {{x^2} + {a^2}} \right)\frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} = {x^2} + {a^2} \Leftrightarrow {x^2} = {a^2} \Leftrightarrow x = a\end{array}\)
\( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = BB'.{S_{\Delta ABC}} = a.\frac{1}{2}{a^2} = \frac{{{a^3}}}{2}\)
TH1: \(\angle A'BD = {120^0}\).
Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(A'BD\) ta có:
\(\begin{array}{l}A'{D^2} = A'{B^2} + B{D^2} - 2A'B.BD.\cos {120^0}\\ \Rightarrow 2{a^2} = 2{x^2} + 2{a^2} + 2\left( {{x^2} + {a^2}} \right)\frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 0 = 3{x^2} + 2{a^2} \Leftrightarrow x = a = 0\,\,\left( {vo\,\,li} \right)\end{array}\)
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{{{a^3}}}{2}\).
Chọn D.
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) . Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) . Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {x - {x^2}} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây ?
-
Đồ thị hình bên là của hàm số nào?
.JPG)
-
Xác định số thực \(x\) để dãy số \(\log 2;\,\log 7;\,\log x\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
-
Tính diện tích lớn nhất của hình chữ nhật \(ABCD\) nội tiếp trong nửa đường tròn có bán kính \(10cm\) (hình vẽ)
.JPG)
-
Một hình trụ có bán kính đáy bằng \(2cm\) và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Diện tích xung quanh của hình trụ là
-
Cho khối nón có độ lớn góc ở đỉnh là \(\frac{\pi }{3}.\) Một khối cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) nội tiếp trong khối nón. Gọi \({S_2}\) là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với \({S_1};{S_3}\) là khối tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón với \({S_2};...;{S_n}\) là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với \({S_{n - 1}}.\) Gọi \({V_1},{V_2},{V_3},...,{V_{n - 1}},{V_n}\) lần lượt là thể tích của khối cầu \({S_1},{S_2},{S_3},...,{S_{n - 1}},{S_n}\) và \(V\) là thể tích của khối nón. Tính giá trị của biểu thức \(T = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{V_1} + {V_2} + ... + {V_n}}}{V}\)
-
Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(3a\) . Điểm \(H\) thuộc cạnh \(AC\) với \(HC = a.\) Dựng đoạn thẳng \(SH\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) với \(SH = 2a.\) Khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng
-
Một khối pha lê gồm một hình cầu \(\left( {{H_1}} \right)\) bán kính \(R\) và một hình nón \(\left( {{H_2}} \right)\) có bán kính đáy và đường sinh lần lượt là \(r,l\) thỏa mãn \(r = \frac{1}{2}l\) và \(l = \frac{3}{2}R\) xếp chồng lên nhau (hình vẽ). Biết tổng diện tích mặt cầu \(\left( {{H_1}} \right)\) và diện tích toàn phần của hình nón \(\left( {{H_2}} \right)\) là \(91c{m^2}.\) Tính diện tích của khối cầu \(\left( {{H_1}} \right).\)
.JPG)
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân ở \(B,\,AC = a\sqrt 2 ,SA \bot mp\left( {ABC} \right),\,SA = a.\) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SBC,\) mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(AG\) và song song với \(BC\) cắt \(SB,SC\) lần lượt tại \(M,{\rm N}\). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.AM{\rm N}\)?
-
Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({4^x} - m{.2^x} + 2m + 1 = 0\) có nghiệm. Tập \(\mathbb{R}\backslash S\) có bao nhiêu giá trị nguyên?
-
Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số (không nhất thiết khác nhau) được lập từ các chữ số \(0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\) . Chọn ngẫu nhiên một số \(\overline {abc} \) từ \(S\) . Tính xác suất để số được chọn thỏa mãn \(a \le b \le c.\)
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên:
.JPG)
Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) > 0\) với \(x \in \mathbb{R},\,\,f\left( 0 \right) = 1\) và \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} .f'\left( x \right)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho hàm số \(y = \dfrac{{mx - 4}}{{x + 1}}\) (với m là tham số thực) có bảng biến thiên dưới đâyMệnh đề nào sau đây đúng?
.JPG)
-
Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = 2x - 4\sqrt {6 - x} \) trên \(\left[ { - 3;6} \right]\) . Tổng \(M + m\) có giá trị là
-
Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + m - 2\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(S\) là tập các giá trị của \(m\) sao cho đồ thị \(\left( C \right)\) có đúng một tiếp tuyến song song với trục \(Ox.\) Tổng tất cả các phần tử của \(S\) là
-
Các khoảng nghịch biến của hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) là
-
Hình vẽ bên là đồ thị cảu hàm số \(y = f\left( x \right)\) Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên không âm của tham số \(m\) để hàm số \(y = \left| {f\left( {x - 2019} \right) + m - 2} \right|\) có 5 điểm cực trị. Số các phần tử của \(S\) bằng
.JPG)
-
Hàm số \(y = - {x^4} - {x^2} + 1\) có mấy điểm cực trị ?
-
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\) , \(\angle BSA = {60^0}\) . Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD?\)
