Cho phương trình \({{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x=2\left( {{\sin }^{2020}}x+{{\cos }^{2020}}x \right)\). Tính tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( 0;2018 \right)\).
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét \(\cos x=0\), ta có 1+0=2.(1+0). Vậy \(\cos x=0\) không là nghiệm của phương trình.
Chia cả 2 vế phương trình cho \({{\cos }^{2020}}x\ne 0, \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}.{{\tan }^{2018}}x+\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}=2\left( {{\tan }^{2020}}x+1 \right)\left( 1 \right)\)
\(\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left( 1+{{\tan }^{2}}x \right){{\tan }^{2018}}x+1+{{\tan }^{2}}x=2\left( {{\tan }^{2020}}x+1 \right)\)
Đặt t=tan x, phương trình trở thành \(\left( 1+{{\operatorname{t}}^{2}} \right){{\operatorname{t}}^{2018}}+1+{{\operatorname{t}}^{2}}=2\left( 1+{{\operatorname{t}}^{2020}} \right)\Leftrightarrow {{\operatorname{t}}^{2018}}+{{\operatorname{t}}^{2020}}+1+{{\operatorname{t}}^{2}}=2+2{{\operatorname{t}}^{2020}}\)
\(\Leftrightarrow {{t}^{2020}}+1-{{t}^{2018}}-{{t}^{2}}=0 \Leftrightarrow {{t}^{2018}}\left( {{t}^{2}}-1 \right)-\left( {{t}^{2}}-1 \right)=0 \Leftrightarrow \left( {{t}^{2018}}-1 \right)\left( {{t}^{2}}-1 \right)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=1 \\ & t=-1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \tan x=\pm 1\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{4}+k\pi \)
\(\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)
Do \(x\in \left( 0;2018 \right) \Rightarrow 0<\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}<2018 \Rightarrow 0\le k\le 1284,k\in \mathbb{Z}\)
Vậy tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( 0;2018 \right)\) bằng
\(\frac{\pi }{4}.1285+\left( 1+2+...+1284 \right)\frac{\pi }{2} =\frac{\pi }{4}.1285+\frac{1284.1285}{4}\pi ={{\left( \frac{1285}{2} \right)}^{2}}\pi \)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Dương Văn Thì
Câu hỏi liên quan
-
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: \(y={{x}^{4}}-2{{m}^{2}}{{x}^{2}}+1\) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân.
-
Biết \(I=\int\limits_{1}^{5}{\frac{2\left| x-2 \right|+1}{x}}\text{d}x=4+a\ln 2+b\ln 5\) với \(a,b\in \mathbb{Z}\). Tính S=a+b.
-
Cho hai điểm \(A\left( 1;2;1 \right)\) và \(B\left( 4;5;-2 \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình 3x-4y+5z+6=0. Đường thẳng AB cắt \(\left( P \right)\) tại điểm M. Tính tỷ số \(\frac{MB}{MA}\).
-
Có tất cả bao nhiêu số dương a thỏa mãn đẳng thức \({{\log }_{2}}a+{{\log }_{3}}a+{{\log }_{5}}a={{\log }_{2}}a.{{\log }_{3}}a.{{\log }_{5}}a\)
-
Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9. Tính xác suất để tìm được một số không bắt đầu bởi 135.
-
Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện |z-2-4i|=|z-2i|. Số phức z có môđun nhỏ nhất là?
-
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ:
.PNG)
Đồ thị hàm số y=f(x) có mấy điểm cực trị?
-
Cho số phức z=5-4i. Số phức đối của z có tọa độ điểm biểu diễn là
-
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}+3x+2\) là hàm số nào trong các hàm số sau?
-
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn \(\text{ }\!\![\!\!\text{ }a;b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }\), trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b được tính theo công thức
-
Cho hình lăng trụ tứ giác đều \(ABCD.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\) cạnh đáy bằng 1 và chiều cao bằng x. Tìm x để góc tạo bởi đường thẳng \({{B}_{1}}D\) và \(\left( {{B}_{1}}{{D}_{1}}C \right)\) đạt giá trị lớn nhất.
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}-1 \right).lo{{g}_{4}}\left( {{2.5}^{x}}-2 \right)=m\) có nghiệm \(x\ge 1.\)?
-
Tìm tập xác định D của hàm số \(y={{\left( 2x-1 \right)}^{-2}}\)
-
Bất phương trình \(\sqrt{2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+6x+16}-\sqrt{4-x}\ge 2\sqrt{3}\) có tập nghiệm là \(\left[ a;b \right]\). Hỏi tổng a+b có giá trị là bao nhiêu?
-
Cho số phức z thỏa mãn \(\left| z+1-i \right|=\left| z-3i \right|\). Tính môđun nhỏ nhất của z-i.
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-1}{3}\). Viết phương trình đường thẳng \({d}'\) là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng \(\left( Oyz \right)\).
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 1, SA vuông góc với đáy, góc giữa mặt bên SBC và đáy bằng \(60{}^\circ \). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên dưới đây.
.PNG)
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x-3z+2=0\). Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\)?
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y=\frac{mx+4}{x+m}\) giảm trên khoảng \(\left( -\infty ;1 \right)\)?
