Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} - 2} \right)x - {m^2} + 3\) có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị đó nằm về hai phía khác nhau đối với trục hoành?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(y = {x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} - 2} \right)x - {m^2} + 3\)
TXĐ : \(D = R\).
Ta có : \(y' = 3{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 2\)
Để hàm số có 2 điểm cực trị \( \Leftrightarrow \) phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt.
\( \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 3\left( {{m^2} - 2} \right) > 0 \) \(\Leftrightarrow - 2{m^2} + 2m + 7 > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{1 - \sqrt {15} }}{2} < m < \dfrac{{1 + \sqrt {15} }}{2}\).
Mà \(m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1;2} \right\}\).
Thử lại :
+) Với \(m = - 1\) ta có \(y = {x^3} - {x^2} - x + 2\). Khi đó
\(y' = 3{x^2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 1\\x = \dfrac{{ - 1}}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{59}}{{27}}\end{array} \right.\,\,\left( {ktm} \right)\)
+) Với \(m = 0\) ta có \(y = {x^3} - {x^2} - 2x + 3\). Khi đó \(y' = 3{x^2} - 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{61 - 14\sqrt 7 }}{{27}} > 0\\x = \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{61 + 14\sqrt 7 }}{{27}} > 0\end{array} \right.\,\,\left( {ktm} \right)\)
+) Với \(m = 1\) ta có \(y = {x^3} - 2{x^2} - x + 2\). Khi đó \(y' = 3{x^2} - 4x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2 + \sqrt 7 }}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{20 - 14\sqrt 7 }}{{27}} < 0\\x = \dfrac{{2 - \sqrt 7 }}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{20 + 14\sqrt 7 }}{{27}} > 0\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\)
+) Với \(m = 2\) ta có \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2x - 1\). Khi đó \(y' = 3{x^2} - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3 + \sqrt 3 }}{3} \Rightarrow y = - \dfrac{{9 + 2\sqrt 3 }}{9} < 0\\x = \dfrac{{3 - \sqrt 3 }}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{ - 9 + 2\sqrt 3 }}{9} < 0\end{array} \right.\,\,\left( {ktm} \right)\).
Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn là \(m = 1.\)
Chọn B.
Câu hỏi liên quan
-
Nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 2\) là:
-
Trong không gian \({\rm{Ox}}yz,\) cho hai điểm \(A\left( {2;3; - 1} \right)\) và \(B\left( {0; - 1;1} \right)\) .Trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) có tọa độ là:
-
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {2 + 3i} \right)z + 4 - 3i = 13 + 4i.\) Mô đun của \(z\) bằng
-
Cho khối chóp \(SABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O,\;AB = a,\;\angle BAD = {60^0},\;SO \bot \left( {ABCD} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) tạo với mặt đáy một góc bằng \({60^0}.\) Thể tích khối chóp đã cho bằng:
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {3;1; - 3} \right),\,\,B\left( {0; - 2;3} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1\). Xét điểm M thay đổi luôn thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\), giá trị lớn nhất của \(M{A^2} + 2M{B^2}\) bằng:
-
Trong không gian \(Oxyz,\) gọi \(d\) là đường thẳng qua \(A\left( {1;\;0;\;2} \right)\) cắt và vuông góc với đường thẳng \({d_1}:\;\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 5}}{{ - 2}}.\) Điểm nào dưới đây thuộc \(d?\)
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^3} - 3x + m} \right|\) có 5 điểm cực trị?
-
Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ?
.JPG)
-
Một lớp học có \(15\) bạn nam và \(10\) bạn nữ. Số cách chọn hai bạn trực nhật sao cho có cả nam và nữ là:
-
Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {\left( {1 + i} \right)z - 5 + i} \right| = 2\) là một đường tròn tâm \(I\) và bán kính \(R\) lần lượt là:
-
Cho hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) có đồ thị \(\left( P \right)\). Xét các điểm A, B thuộc \(\left( P \right)\) sao cho tiếp tuyến tại A và B của \(\left( P \right)\) vuông góc với nhau, diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\) và đường thẳng AB bằng \(\frac{9}{4}\). Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) lần lượt là hoành độ của A và B. Giá trị của \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}\) bằng:
-
Trong không gian \({\rm{Ox}}yz,\) vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right):\,2y - 3z + 1 = 0?\)
-
Cho \(a,b\) là các số thực thỏa mãn \(a + 6i = 2 - 2bi,\) với \(i\) là đơn vị ảo. Giá trị của \(a + b\) bằng
-
Cho khối trụ (T). Biết rằng một mặt phẳng chứa trục của (T) cắt (T) theo thiết diện là một hình vuông cạnh 4a. Thể tích khối trụ đã cho bằng:
-
Cho số thức \(\alpha \) sao cho phương trình \({2^x} - {2^{ - x}} = 2\cos \left( {\alpha x} \right)\) có đúng 2019 nghiệm thực. Số nghiệm của phương trình \({2^x} + {2^{ - x}} = 4 + 2\cos \left( {\alpha x} \right)\) là:
-
Gọi \({x_1},\;{x_2}\) là hai điểm cực trị của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} - 2x.\) Giá trị của \(x_1^2 + x_2^2\) bằng:
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{x + 3}}{{{x^2} + 3x + 2}}\) là:
-
Với hàm \(f\left( x \right)\) tùy ý liên tục trên \(\mathbb{R},\,a < b\) , diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị cảu hàm số \(y = f\left( x \right),\) trục hoành và các đường thẳng \(x = a,x = b\) được xác định theo công thức
-
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, \(SA = SB = \sqrt 2 a\), khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) bằng a. Thể tích của khối chóp đã cho bằng:
-
Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B,\,AB = a,\,AC = 2a,\,SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SA = a.\) Thể tích khối nón đã cho bằng
