Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} - 2} \right)x - {m^2} + 3\) có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị đó nằm về hai phía khác nhau đối với trục hoành?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(y = {x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} - 2} \right)x - {m^2} + 3\)
TXĐ : \(D = R\).
Ta có : \(y' = 3{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 2\)
Để hàm số có 2 điểm cực trị \( \Leftrightarrow \) phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt.
\( \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 3\left( {{m^2} - 2} \right) > 0 \) \(\Leftrightarrow - 2{m^2} + 2m + 7 > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{1 - \sqrt {15} }}{2} < m < \dfrac{{1 + \sqrt {15} }}{2}\).
Mà \(m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1;2} \right\}\).
Thử lại :
+) Với \(m = - 1\) ta có \(y = {x^3} - {x^2} - x + 2\). Khi đó
\(y' = 3{x^2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 1\\x = \dfrac{{ - 1}}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{59}}{{27}}\end{array} \right.\,\,\left( {ktm} \right)\)
+) Với \(m = 0\) ta có \(y = {x^3} - {x^2} - 2x + 3\). Khi đó \(y' = 3{x^2} - 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{61 - 14\sqrt 7 }}{{27}} > 0\\x = \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{61 + 14\sqrt 7 }}{{27}} > 0\end{array} \right.\,\,\left( {ktm} \right)\)
+) Với \(m = 1\) ta có \(y = {x^3} - 2{x^2} - x + 2\). Khi đó \(y' = 3{x^2} - 4x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2 + \sqrt 7 }}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{20 - 14\sqrt 7 }}{{27}} < 0\\x = \dfrac{{2 - \sqrt 7 }}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{20 + 14\sqrt 7 }}{{27}} > 0\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\)
+) Với \(m = 2\) ta có \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2x - 1\). Khi đó \(y' = 3{x^2} - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3 + \sqrt 3 }}{3} \Rightarrow y = - \dfrac{{9 + 2\sqrt 3 }}{9} < 0\\x = \dfrac{{3 - \sqrt 3 }}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{ - 9 + 2\sqrt 3 }}{9} < 0\end{array} \right.\,\,\left( {ktm} \right)\).
Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn là \(m = 1.\)
Chọn B.
Câu hỏi liên quan
-
Nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 2\) là:
-
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, \(SA = SB = \sqrt 2 a\), khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) bằng a. Thể tích của khối chóp đã cho bằng:
-
Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B,\,AB = a,\,AC = 2a,\,SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SA = a.\) Thể tích khối nón đã cho bằng
-
Trong không gian \(Oxyz,\) điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \(\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 2}}{3}?\)
-
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {2 + 3i} \right)z + 4 - 3i = 13 + 4i.\) Mô đun của \(z\) bằng
-
Cho hình trụ \(\left( T \right)\) có chiều cao bằng 2a. Hai đường tròn đáy của \(\left( T \right)\) có tâm lần lượt là O và \({O_1}\) và bán kính bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm \({O_1}\) lấy điểm B sao cho \(AB = \sqrt 5 a\). Thể tích khối tứ diện \(O{O_1}AB\) bằng:
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - 8x}}{{x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {1;\;3} \right]\) bằng:
-
Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ?
.JPG)
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có bảng xét dấu như sau:
.JPG)
Hàm số \(y = f\left( {{x^2} + 2x} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho \(a,b\) là các số thực thỏa mãn \(a + 6i = 2 - 2bi,\) với \(i\) là đơn vị ảo. Giá trị của \(a + b\) bằng
-
Cho \(\left( {{u_n}} \right)\)là một cấp số cộng thỏa mãn \({u_1} + {u_3} = 8\) và \({u_4} = 10.\) Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
-
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} + 3x - 2\) đồng biến trên R là:
-
Trong không gian \({\rm{Ox}}yz,\) vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right):\,2y - 3z + 1 = 0?\)
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {3;1; - 3} \right),\,\,B\left( {0; - 2;3} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1\). Xét điểm M thay đổi luôn thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\), giá trị lớn nhất của \(M{A^2} + 2M{B^2}\) bằng:
-
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD = a.\) Gọi \(M,\;N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC.\) Biết \(MN = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{2},\) góc giữa đường thẳng\(AB\) và \(CD\) bằng:
-
Cho các số phức \({z_1},\,\,{z_2},\,\,{z_3}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 1\) và \(z_1^3 + z_2^3 + z_3^3 + {z_1}{z_2}{z_3} = 0\). Đặt \(z = {z_1} + {z_2} + {z_3}\), giá trị của \({\left| z \right|^3} - 3{\left| z \right|^2}\) bằng:
-
Trong không gian \(Oxyz,\) gọi \(d\) là đường thẳng qua \(A\left( {1;\;0;\;2} \right)\) cắt và vuông góc với đường thẳng \({d_1}:\;\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 5}}{{ - 2}}.\) Điểm nào dưới đây thuộc \(d?\)
-
Tìm \(m\) để đường thẳng \(y = 2x + m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 3}}{{x + 1}}\) tại hai điểm \(M,\;N\) sao cho độ dài \(MN\) nhỏ nhất:
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{x + 3}}{{{x^2} + 3x + 2}}\) là:
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên
.JPG)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
