Có tất cả bao nhiêu số dương \(a\) thỏa mãn đẳng thức \({\log _2}a + {\log _3}a + {\log _5}a = {\log _2}a.{\log _3}a.{\log _5}a\)?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện : \(a > 0\)
Ta có : \({\log _2}a + {\log _3}a + {\log _5}a = {\log _2}a.{\log _3}a.{\log _5}a\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}a + {\log _3}2.{\log _2}a + {\log _5}2.{\log _2}a\) \( = {\log _2}a.{\log _3}2.{\log _2}a.{\log _5}2.{\log _2}a\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}a\left( {1 + {{\log }_3}2 + {{\log }_5}2} \right) = \log _2^3a.{\log _3}2.{\log _5}2\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}a\left( {\log _2^2a.{{\log }_3}2.{{\log }_5}2 - 1 - {{\log }_3}2 - {{\log }_5}2} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}a = 0\\\log _2^2a.{\log _3}2.{\log _5}2 - 1 - {\log _3}2 - {\log _5}2 = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\\log _2^2a = \frac{{1 + {{\log }_3}2 + {{\log }_5}2}}{{{{\log }_3}2.{{\log }_5}2}}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\{\log _2}a = \sqrt {\frac{{1 + {{\log }_3}2 + {{\log }_5}2}}{{{{\log }_3}2.{{\log }_5}2}}} = {t_1}\\{\log _2}a = - \sqrt {\frac{{1 + {{\log }_3}2 + {{\log }_5}2}}{{{{\log }_3}2.{{\log }_5}2}}} = {t_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\a = {2^{{t_1}}} > 0\\a = {2^{{t_2}}} > 0\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có \(3\) nghiệm \(a > 0\).
Chọn C.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Lê Minh Xuân