Gọi \(A,B\) là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau trên đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số \(y = \frac{{x + 3}}{{x - 3}}\) , độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng \(AB\) là
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐK : \(x \ne 3\)
Ta có \(y = \frac{{x + 3}}{{x - 3}} = 1 + \frac{6}{{x - 3}}\) . Đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) có tiệm cận đứng \(x = 3\) và tiệm cận ngang \(y = 1.\) Suy ra tâm đối xứng của đồ thị \(\left( C \right)\) là \(I\left( {3;1} \right)\).
Với \(A,B \in \left( C \right)\) và \(A,B\) thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị . Để \(AB\) nhỏ nhất thì \(A;I;B\) thẳng hàng hay \(I\) là trung điểm của \(AB.\)
Gọi \(A\left( {{x_A};1 + \frac{6}{{{x_A} - 3}}} \right);B\left( {{x_B};1 + \frac{6}{{{x_B} - 3}}} \right)\) thuộc đồ thị \(\left( C \right)\).
Vì \(I\left( {3;1} \right)\) là trung điểm của \(AB\) nên \({x_A} + {x_B} = 2{x_I} \Leftrightarrow {x_A} + {x_B} = 6 \Leftrightarrow {x_B} = 6 - {x_A}\)
Suy ra \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{6}{{{x_B} - 3}} - \frac{6}{{{x_A} - 3}}} \right)}^2}} \)
\( = \sqrt {{{\left( {6 - 2{x_A}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{6}{{3 - {x_A}}} - \frac{6}{{{x_A} - 3}}} \right)}^2}} = \sqrt {4{{\left( {{x_A} - 3} \right)}^2} + \frac{{144}}{{{{\left( {{x_A} - 3} \right)}^2}}}} \)
Ta có \(A{B^2} = 4{\left( {{x_A} - 3} \right)^2} + \frac{{144}}{{{{\left( {{x_A} - 3} \right)}^2}}}\mathop \ge \limits^{Cosi} 2\sqrt {4{{\left( {{x_A} - 3} \right)}^2}.\frac{{144}}{{{{\left( {{x_A} - 3} \right)}^2}}}} = 48\)
Suy ra \(A{B_{\min }} = \sqrt {48} = 4\sqrt 3 \Leftrightarrow 4{\left( {{x_A} - 3} \right)^2} = \frac{{144}}{{{{\left( {{x_A} - 3} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {\left( {{x_A} - 3} \right)^4} = 36 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_A} = 3 + \sqrt 6 \\{x_A} = 3 - \sqrt 6 \end{array} \right.\)
Chọn C.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Lê Minh Xuân
Câu hỏi liên quan
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = {x^3},y = 4x\) là:
-
Cho phương trình \({z^2} - mz + 2m - 1 = 0\) trong đó \(m\) là tham số phức. Giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(z_1^2 + z_2^2 = - 10\) là:
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{m}{3}{x^3} + 2{x^2} + mx + 1\) có \(2\) điểm cực trị thỏa mãn \({x_{CD}} < {x_{CT}}\).
-
Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?
.JPG)
-
Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 2,\,\,AD = 2\sqrt 3 \) và nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\). Quay \(\left( P \right)\) một vòng quanh đường thẳng \(BD\). Khối tròn xoay được tạo thành có thể tích bằng:
-
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
.JPG)
-
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho ba đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 4 - t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\), \({d_2}:\frac{x}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{z}{{ - 3}}\) và \({d_3}:\frac{{x + 1}}{5} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.\) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng cắt \({d_1},{d_2},{d_3}\) lần lượt tại các điểm \(A,B,C\) sao cho \(AB = BC\). Phương trình đường thẳng \(\Delta \) là
-
Số điểm cực trị của hàm số \(y = \left| {\sin x - \dfrac{x}{4}} \right|,\,\,x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\) là:
-
Cho hình nón tròn xoay có thiết diện qua đỉnh là một tam giác vuông cân. Hãy chọn câu sai trong các câu sau:
-
Tập nghiệm của bất phương trình \(\left| {{{\left| x \right|}^3} - 3{x^2} + 2} \right| > 2\) là:
-
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\) và hai điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( {3; - 1; - 5} \right)\). Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua điểm \(A\) và cắt đường thẳng \(\Delta \) sao cho khoảng cách từ \(B\) đến đường thẳng \(d\) là lớn nhất. Khi đó, gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\) là giao điểm của \(d\) với đường thẳng \(\Delta \). Giá trị \(P = a + b + c\) bằng
-
Nếu \({\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^x} > \sqrt 3 + \sqrt 2 \) thì
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) sao cho \(f'\left( x \right) < 0;\,\forall x > 0.\) Hỏi mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Có tất cả bao nhiêu số dương \(a\) thỏa mãn đẳng thức \({\log _2}a + {\log _3}a + {\log _5}a = {\log _2}a.{\log _3}a.{\log _5}a\)?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) > 0\) khi \(x \in \left[ {1;2} \right]\). Biết \(\int\limits_1^2 {f'\left( x \right)dx} = 10\) và \(\int\limits_1^2 {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}dx} = \ln 2\). Tính \(f\left( 2 \right)\).
-
Phát biểu nào sau đây đúng.
-
Trong các hàm số sau, hàm số nào chỉ có cực đại mà không có cực tiểu?
-
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = 3a,AD = 4a,AA' = 4a\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(CC'D\). Mặt phẳng chứa \(B'G\) và song song với \(C'D\) chia khối hộp thành \(2\) phần. Gọi \(\left( H \right)\) là khối đa diện chứa \(C\). Tính tỉ số \(\frac{{{V_{\left( H \right)}}}}{V}\) với \(V\) là thể tích khối hộp đã cho.
-
Cho số phức \(z = {\left( {\frac{{2 + 6i}}{{3 - i}}} \right)^m},\) \(m\) nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị \(m \in \left[ {1;50} \right]\) để \(z\) là số thuần ảo?
-
Cho 4 điểm \(A\left( {3; - 2; - 2} \right);B\left( {3;2;0} \right);C\left( {0;2;1} \right);D\left( { - 1;1;2} \right)\). Mặt cầu tâm \(A\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) có phương trình là
