Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( {4; - 2;6} \right),\,\,B\left( {2;4;2} \right)\), \(M \in \left( \alpha \right):\,\,x + 2y - 3z - 7 = 0\) sao cho \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \) nhỏ nhất. Tọa độ của \(M\) bằng:
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right).\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) = M{I^2} + \overrightarrow {MI} .\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) + \overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} \)
Xác định tọa độ điểm I thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow I\) là trung điểm của AB, có tọa độ là \(I\left( {3;1;4} \right)\)
Để \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \) nhỏ nhất thì \(M{I^2}\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow M\) là hình chiếu vuông góc của I lên \(\left( \alpha \right)\)
Khi đó, đường thẳng MI nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} \left( {1;2; - 3} \right)\) làm 1 VTCP. Phương trình đường thẳng IM là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 1 + 2t\\z = 4 - 3t\end{array} \right.\)
Giả sử \(M\left( {3 + t;1 + 2t;4 - 3t} \right)\).
Do \(M \in \left( \alpha \right) \Rightarrow \left( {3 + t} \right) + 2\left( {1 + 2t} \right) - 3\left( {4 - 3t} \right) - 7 = 0 \Leftrightarrow 14t - 14 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M\left( {4;3;1} \right)\)
Chọn: B
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Lê Minh Xuân