Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left[ {{3}^{2x}}-{{4.3}^{x+1}}+27 \right]\left[ {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-3 \right]\le 0\)?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện: \(x>-1\)
Bất phương trình tương đương \(\left\{ \begin{align} & {{3}^{2x}}-{{4.3}^{x+1}}+27\ge 0 \\ & {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-3\le 0 \\ \end{align} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{align} & {{3}^{2x}}-{{4.3}^{x+1}}+27\le 0 \\ & {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-3\ge 0 \\ \end{align} \right.\).
- Ta xét hệ bất phương trình đầu tiên \(\left\{ \begin{align} & {{3}^{2x}}-{{12.3}^{x}}+27\ge 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-3\le 0\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.\)
\(\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{3}^{x}}\le 3\vee {{3}^{x}}\ge 9\Leftrightarrow x\le 1\vee x\ge 2\).
Xét hàm \(f\left( x \right)={{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-3\) với \(x\in \left( -1;1 \right]\cup \left[ 2;+\infty \right)\)
\(\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{1}{\left( x+1 \right)\ln 3}+1>0,\forall x\in \left( -1;1 \right]\cup \left[ 2;+\infty \right)\)
Khi đó bất phương trình (2) có ba nghiệm nguyên là \(x\in \left\{ 0;1;2 \right\}\).
- Ta xét hệ bất phương trình còn lại \(\left\{ \begin{align} & {{3}^{2x}}-{{12.3}^{x}}+27\le 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \\ & {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-3\ge 0\,\,\,\left( 4 \right) \\ \end{align} \right.\)
Ta có \(\left( 3 \right)\Leftrightarrow 3\le {{3}^{x}}\le 9\Leftrightarrow 1\le x\le 2\)
Tương tự, xét hàm \(f\left( x \right)={{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-3\) với \(x\in \left[ 1;2 \right]\)
\(\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{1}{\left( x+1 \right)\ln 3}+1>0,\forall x\in \left[ 1;2 \right]\)
Nhận thấy chỉ có \(f\left( 2 \right)=0\) nên bất phương trình (4) chỉ có nghiệm nguyên là \(x=2\).
Cuối cùng bất phương trình có ba nghiệm nguyên là \(x\in \left\{ 0;1;2 \right\}\).
Chọn D
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Ngô Quyền
Câu hỏi liên quan
-
Cho HS \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Phương trình \(f\left( x \right)=0\) có bao nhiêu nghiệm?
-
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số sau \(y={{e}^{x}}+2x\)?
-
Cho hàm đa thức bậc ba \(y=f\left( x \right)\) liên tục, có đạo hàm trên \(\left[ -2;2 \right]\) và có đồ thị như hình:
Số điểm cực tiểu của hàm số \(y=\sqrt[3]{{{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}}\) là?
-
Một vật chuyển động theo quy luật \(s=-\frac{1}{3}{{t}^{3}}+6{{t}^{2}}\) với \(t\) (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và \(s\) (mét) là quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian \(7\) giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bao nhiêu?
-
Cho khối tứ diện \(ABCD\) có thể tích \(V\). Gọi \(V'\) là thể tích của khối tám mặt có các đỉnh là trung điểm các cạnh của khối đa diện \(ABCD\). Tính tỉ số giữa \(\frac{V'}{V}\) bằng?
-
Phương trình sau \({{\log }_{2}}(x-5)=5\) có nghiệm là?
-
Cho hàm bậc ba \(f\left( x \right)\) có đồ thị hàm số như hình vẽ:
Biết hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại hai điểm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) thỏa mãn \({{x}_{2}}={{x}_{1}}+2\) và \(f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)=2\). Gọi \({{S}_{1}},{{S}_{2}}\) là diện tích của hai hình phẳng được cho trong hình vẽ bên. Tính tỉ số \(\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}\)?
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), từ điểm \(A\left( 1;1;0 \right)\) kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( -1;1;1 \right)\) và bán kính \(R=1\). Gọi \(M\left( a;b;c \right)\) là một trong các tiếp điểm ứng với các tiếp tuyến trên. Tìm GTLN của biểu thức \(T=\left| 2a-b+2c \right|\)?
-
Tìm đường tiệm cận ngang của ĐTHS \(y=\frac{3x-4}{x-1}\)?
-
Cho hình lăng trụ \({ABC.A'B'C'}\) có \(A{A}'=A{B}'=A{C}'\). Tam giác \({ABC}\) vuông cân tại \({A}\) có \({BC=2a}\). Khoảng cách từ \({A}'\) đến mặt phẳng \(\left( BC{C}'{B}' \right)\) là \(\frac{a\sqrt{3}}{3}\). Tính thể tích khối lăng trụ đã cho?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu sau \((S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+2y+1=0\). Tâm của mặt cầu \((S)\) có tọa độ là?
-
Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng \((\alpha ):5x-7y-z+2=0\) nhận vectơ nào dưới đây làm vectơ pháp tuyến?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\) có pt \(d:\,\left\{ \begin{align}
& x=-1+t \\
& y=2-3t \\
& z=t \\
\end{align} \right.\) và điểm \(A\left( 2;\,3;\,1 \right).\) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\), vuông góc với đường thẳng \(d\) có phương trình là? -
Trong không gian cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB=1\) và \(AD=2\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC\). Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được hình trụ. Tính diện tích toàn phần của hình trụ?
-
Hãy tính Môđun của số phức \(z=\left( -4+3i \right).i\)?
-
Cho hàm số đa thức bậc ba như hình:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y=f\left( f\left( x \right)+m \right)\) có đúng \(6\) điểm cực trị?
-
Cho hình chóp \(S.ABC\text{D}\) có đáy \(ABC\text{D}\) là hình vuông cạnh \(a\). Tam giác \(SAB\) vuông tại \(S\) và nằm trong mp vuông góc với đáy. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\text{D}\) bằng?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho biết hình chiếu vuông góc của điểm \(M(3;-1;1)\) trên trục \(Oz\) có tọa độ là?
-
Cho số phức \(z=1-2i\). Cho biết phần ảo của số phức \(\overline{z}\)?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị \({f}'\left( x \right)\) như hình vẽ:
Bất phương trình \({{\log }_{5}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]+f\left( x \right)>4-m\) đúng với mọi \(x\in \left( -1\,;\,4 \right)\) khi và chỉ khi?
