Hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật với \(AB=3,BC=4,SC=5.\) Tam giác \(SAC\) nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với \(\left( ABCD \right).\) Các mặt \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SAC \right)\) tạo với nhau một góc \(\alpha \) và \(\cos \alpha =\frac{3}{\sqrt{29}}.\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\)
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiKẻ \(SH\bot AC\left( H\in AC \right)\) vì \(\Delta SAC\) nhọn.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {SAC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AC\\ SH \bot AC \end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right).\)
Kẻ \(MB\bot AC\Rightarrow MB\bot \left( SAC \right)\Rightarrow MB\bot SA,\left( 1 \right).\)
Ta có \(AC=SC=5\) nên \(\Delta SAC\) cân tại \(C. \)
Gọi \(E\) là trung điểm của \(SA\) nên \(SA\bot EC,\) kẻ \(MN//EC\left( N\in SA \right)\) nên \(SA\bot MN\left( 2 \right).\)
Từ (1), (2) suy ra \(SA\bot \left( MNB \right)\Rightarrow \widehat{BNM}=\alpha .\)
Ta có \(\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }=1+{{\tan }^{2}}\alpha \Rightarrow \tan \alpha =\sqrt{\frac{1}{{{\left( \frac{3}{\sqrt{29}} \right)}^{2}}}-1}=\frac{2\sqrt{5}}{3}.\)
Trong \(\Delta ABC:MB=\frac{AB.BC}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}=\frac{12}{5},AM=\sqrt{A{{B}^{2}}-M{{B}^{2}}}=\frac{9}{5}.\)
Trong \(\Delta BMN:MN=\frac{MB}{\tan \alpha }=\frac{18\sqrt{5}}{25}.\)
Trong \(\Delta SAC:\frac{AM}{AC}=\frac{MN}{EC}=\frac{\frac{9}{5}}{5}=\frac{9}{25}\) suy ra \(EC=\frac{25MN}{9}=2\sqrt{5}.\)
Ta có \(SA=2SE=2\sqrt{S{{C}^{2}}-E{{C}^{2}}}=2\sqrt{5}\)
Và \(SH.AC=SA.EC\Leftrightarrow SH=\frac{SA.EC}{AC}=\frac{2\sqrt{5}.2\sqrt{5}}{5}=4.\)
Vậy thể tích khối chóp là \(V=\frac{1}{3}.SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.4.3.4=16.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Liễn Sơn lần 3