Số điểm cực trị của hàm số \(f\left( x \right) = \int\limits_{2x}^{{x^2}} {\dfrac{{2tdt}}{{1 + {t^2}}}} \) là:
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \int\limits_{2x}^{{x^2}} {\dfrac{{2tdt}}{{{t^2} + 1}}} = \int\limits_{2x}^{{x^2}} {\dfrac{{d\left( {{t^2} + 1} \right)}}{{{t^2} + 1}}} \\ = \left. {\ln \left( {{t^2} + 1} \right)} \right|_{2x}^{{x^2}} = \ln \left( {{x^4} + 1} \right) - \ln \left( {4{x^2} + 1} \right)\\f'\left( x \right) = \dfrac{{4{x^3}}}{{{x^4} + 1}} - \dfrac{{8x}}{{4{x^2} + 1}} = \dfrac{{4{x^3}\left( {4{x^2} + 1} \right) - 8x\left( {{x^4} + 1} \right)}}{{\left( {4{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{8{x^5} + 4{x^3} - 8x}}{{\left( {4{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} + 1} \right)}} = \dfrac{{4x\left( {2{x^4} + {x^2} - 2} \right)}}{{\left( {4{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} + 1} \right)}}\end{array}\)
Nhận xét:
Phương trình \(2{x^4} + {x^2} - 2 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \( \pm \dfrac{{\sqrt { - 1 + \sqrt {17} } }}{2}\) và \(2{x^4} + {x^2} - 2\) đổi dấu tại 2 điểm này.
\(4x\) đổi dấu tại \(x = 0\)
\(\left( {4{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} + 1} \right) > 0,\,\forall x\)
\( \Rightarrow f'\left( x \right)\) đổi dấu tại 3 điểm là \(x = \pm \dfrac{{\sqrt { - 1 + \sqrt {17} } }}{2}\) và \(x = 0\)
\( \Rightarrow \) Số điểm cực trị của hàm số \(f\left( x \right) = \int\limits_{2x}^{{x^2}} {\dfrac{{2tdt}}{{1 + {t^2}}}} \) là 3.
Chọn: D
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Hữu Huân
