Tập tất cả các giá trị của tham số thực \(m\) để phương trình \(m\left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} + 3} \right) + 2\sqrt {1 - {x^2}} - 5 = 0\) có đúng hai nghiệm thực phân biệt là một nửa khoảng \(\left( {a;b} \right]\). Tính \(b - \frac{5}{7}a\).
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện: \(x \in \left[ { - 1;1} \right]\) . Đặt \(\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} = t\) , ta có
\(\begin{array}{l}
t' = \frac{1}{{2\sqrt {1 + x} }} - \frac{1}{{2\sqrt {1 - x} }} = \frac{{\sqrt {1 - x} - \sqrt {1 + x} }}{{2\sqrt {1 - {x^2}} }} = \frac{{ - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} \left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} } \right)}}\\
{t^2} = 2 + 2\sqrt {1 - {x^2}} \Rightarrow 2\sqrt {1 - {x^2}} = {t^2} - 2
\end{array}\)
Do đó \(\begin{array}{l}
m\left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} + 3} \right) + 2\sqrt {1 - {x^2}} - 5 = 0\left( 1 \right)\\
\Leftrightarrow m\left( {t + 3} \right) + {t^2} - 2 - 5 = 0 \Leftrightarrow {t^2} + mt + 3m - 7 = 0\\
\Leftrightarrow 7 - {t^2} = m\left( {t + 3} \right) \Leftrightarrow \frac{{7 - {t^2}}}{{t + 3}} = m\left( 2 \right)
\end{array}\)
BBT
.PNG)
Dựa vào bảng biến thiên hàm t(x) trên, ta thấy để (1) có đúng 2 nghiệm thực phân biệt x thì (2) có đúng 1 nghiệm \(t \in \left[ {\sqrt 2 ;2} \right)\) . Nghiệm còn lại nếu có khác 2
Xét hàm \(f\left( t \right) = \frac{{7 - {t^2}}}{{t + 3}},f'\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 6t + 7}}{{{{\left( {t + 3} \right)}^2}}} < 0,\forall t > 0\) nên \(f(x)\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Do đó (2) có nghiệm thuộc \(\left[ {\sqrt 2 ;2} \right)\) khi và chỉ khi \(f\left( {\sqrt 2 } \right) \ge m > f\left( 2 \right) \Leftrightarrow \frac{{15 - 5\sqrt 2 }}{7} \ge m > \frac{3}{5}\)
Do đó \(a = \frac{3}{5};b = \frac{{15 - 5\sqrt 2 }}{7}\) nên \(b - \frac{5}{7}a = \frac{{12 - 5\sqrt 2 }}{7}\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần 1
Câu hỏi liên quan
-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho \(\Delta :x - y + 1 = 0\) và hai điểm \(A\left( {2;\,\,1} \right),\,\,B\left( {9;\,\,6} \right).\) Điểm \(M\left( {a;\,\,b} \right)\) nằm trên đường \(\Delta \) sao cho \(MA + MB\) nhỏ nhất. Tính \(a+b\)
-
Tìm a để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + ax + 1,\,\,\,x > 2\\
2{x^2} - x + 1,\,\,\,x \le 2
\end{array} \right.\) có giới hạn tại \(x=2\) -
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{5}{{x - 1}}\) là đường thẳng có phương trình
-
Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h là
-
Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = - \frac{1}{3}{x^3} + x - \frac{2}{3}\). Tọa độ trung điểm của AB là
-
Hình lăng trụ có thể có số cạnh là số nào sau đây?
-
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {\sin ^2}x - 4\sin x - 5\).
-
Cho hàm số \(y=x^3-2009x\) có đồ thị là (C). Gọi \(M_1\) là điểm trên (C) có hoành độ \(x_1=1\). Tiếp tuyến của (C) tại \(M_1\) cắt (C) tại điểm \(M_2\) khác \(M_1\), tiếp tuyến của (C) tại \(M_2\) cắt (C) tại điểm \(M_3\) khác \(M_2\), tiếp tuyến của (C) tại điểm \(M_{n-1}\) cắt (C) tại điểm \(M_n\) khác \(M_{n-1}\) (\(n=4,5,...\)). Gọi \(\left( {{x_n};{y_n}} \right)\) là tọa độ điểm \(M_n\). Tìm \(n\) sao cho \(2009{x_n} + {y_n} + {2^{2013}} = 0\).
-
Một xe buýt của hãng xe A có sức chứa tối đa là 50 hành khách. Nếu một chuyến xe buýt chở x hành khách thì giá tiền cho mỗi hành khách là \(20{\left( {3 - \frac{x}{{40}}} \right)^2}\) (nghìn đồng). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
-
Hàm số \(y = {x^4} - 2\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) với \(SA = a\sqrt 6 \). Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD)
-
Cho hình chóp S.ABC có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(AB \bot BC\), gọi I là trung điểm BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc nào sau đây?
-
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x\) Tọa độ của điểm cực đại của đồ thị hàm số là
-
Hình dưới đây là đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\).
.PNG)
Hỏi hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảngnào trong các khoảng dưới đây?
-
Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C'. Biết rằng góc giữa (A'BC) và (ABC) là \(30^0\), tam giác A'BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' .
-
Phương trình chính tắc của Elip có độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng 6 là:
-
Giá trị cực tiểu của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 2\) là
-
Cho hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị nhận hai điểm \(A\left( {0;3} \right)\) và \(B\left( {2; - 1} \right)\) làm hai điểm cực trị. Số điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = \left| {a{x^2}\left| x \right| + b{x^2} + c\left| x \right| + d} \right|\) là
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh \(a, AC=a\). Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC, biết góc giữa đường thẳng SD và mặt đáy bằng \(60^0\).
