Tập tất cả các giá trị của tham số thực \(m\) để phương trình \(m\left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} + 3} \right) + 2\sqrt {1 - {x^2}} - 5 = 0\) có đúng hai nghiệm thực phân biệt là một nửa khoảng \(\left( {a;b} \right]\). Tính \(b - \frac{5}{7}a\).
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện: \(x \in \left[ { - 1;1} \right]\) . Đặt \(\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} = t\) , ta có
\(\begin{array}{l}
t' = \frac{1}{{2\sqrt {1 + x} }} - \frac{1}{{2\sqrt {1 - x} }} = \frac{{\sqrt {1 - x} - \sqrt {1 + x} }}{{2\sqrt {1 - {x^2}} }} = \frac{{ - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} \left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} } \right)}}\\
{t^2} = 2 + 2\sqrt {1 - {x^2}} \Rightarrow 2\sqrt {1 - {x^2}} = {t^2} - 2
\end{array}\)
Do đó \(\begin{array}{l}
m\left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} + 3} \right) + 2\sqrt {1 - {x^2}} - 5 = 0\left( 1 \right)\\
\Leftrightarrow m\left( {t + 3} \right) + {t^2} - 2 - 5 = 0 \Leftrightarrow {t^2} + mt + 3m - 7 = 0\\
\Leftrightarrow 7 - {t^2} = m\left( {t + 3} \right) \Leftrightarrow \frac{{7 - {t^2}}}{{t + 3}} = m\left( 2 \right)
\end{array}\)
BBT
.PNG)
Dựa vào bảng biến thiên hàm t(x) trên, ta thấy để (1) có đúng 2 nghiệm thực phân biệt x thì (2) có đúng 1 nghiệm \(t \in \left[ {\sqrt 2 ;2} \right)\) . Nghiệm còn lại nếu có khác 2
Xét hàm \(f\left( t \right) = \frac{{7 - {t^2}}}{{t + 3}},f'\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 6t + 7}}{{{{\left( {t + 3} \right)}^2}}} < 0,\forall t > 0\) nên \(f(x)\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Do đó (2) có nghiệm thuộc \(\left[ {\sqrt 2 ;2} \right)\) khi và chỉ khi \(f\left( {\sqrt 2 } \right) \ge m > f\left( 2 \right) \Leftrightarrow \frac{{15 - 5\sqrt 2 }}{7} \ge m > \frac{3}{5}\)
Do đó \(a = \frac{3}{5};b = \frac{{15 - 5\sqrt 2 }}{7}\) nên \(b - \frac{5}{7}a = \frac{{12 - 5\sqrt 2 }}{7}\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần 1
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(f(x)\) có \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^4}{\left( {x - 2} \right)^3}{\left( {2x + 3} \right)^7}{\left( {x - 1} \right)^{10}}\). Tìm số điểm cực trị của hàm số \(f\left( x \right)\).
-
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị nhận hai điểm \(A\left( {0;3} \right)\) và \(B\left( {2; - 1} \right)\) làm hai điểm cực trị. Số điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = \left| {a{x^2}\left| x \right| + b{x^2} + c\left| x \right| + d} \right|\) là
-
Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h là
-
Xác định đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số hàm số \(y = \frac{{ - 2x + 5}}{{1 - x}}\).
-
Hình mười hai mặt đều thuộc loại khối đa diện nào sau đây ?
-
Tìm a để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + ax + 1,\,\,\,x > 2\\
2{x^2} - x + 1,\,\,\,x \le 2
\end{array} \right.\) có giới hạn tại \(x=2\) -
Cho hình vuông \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) có cạnh bằng 1. Gọi \({A_{k + 1}},{B_{k + 1}},{C_{k + 1}},{D_{k + 1}}\) thứ tự là trung điểm các cạnh \({A_k}{B_k},{B_k}{C_k},{C_k}{D_k},{D_k}{A_k}\) (với \(k = 1,\,\,2,\,\,...).\) Chu vi của hình vuông \({A_{2018}}{B_{2018}}{C_{2018}}{D_{2018}}\) bằng
-
Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số \(m\) sao cho phương trình \({\left( {x + 1} \right)^3} + 3 - m = 3\,\sqrt[3]{{3x + m}}\) có đúng hai nghiệm thực. Tính tổng tất cả phần tử của tập hợp S.
-
Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = - \frac{1}{3}{x^3} + x - \frac{2}{3}\). Tọa độ trung điểm của AB là
-
Phương trình chính tắc của Elip có độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng 6 là:
-
Cho hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Đường cong dưới đây là đồ thị một hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D.
Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
.PNG)
-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có tâm \(I\left( {1; - 1} \right)\) và bán kính R = 5. Biết rằng đường thẳng \(\left( d \right):3x - 4y + 8 = 0\) cắt đường tròn (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. Tính độ dài đoạn thẳng AB.
-
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {\sin ^2}x - 4\sin x - 5\).
-
Cho hình chóp có 20 cạnh. Tính số mặt của hình chóp đó.
-
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng \(a\). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD)
-
Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận, \(M\left( {{x_0},{y_0}} \right)\), (\(x_0>0\)) là một điểm trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M cắt hai đường tiệm cận lần lượt tại A, B thỏa mãn \(A{I^2} + I{B^2} = 40\). Tính tích \({x_0}{y_0}\).
-
Có 30 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm . Tính xác suất để lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong có có đúng một tấm thẻ mang số chia hết cho 10.
-
Biết rằng đồ thị của hàm số \(y = \frac{{\left( {n - 3} \right)x + n - 2017}}{{x + m + 3}}\) (\(m, n\) là tham số) nhận trục hoành làm tiệm cận ngang và trục tung làm tiệm cận đứng. Tính tổng \(m+n\).
-
Cho hàm số \(y=f(x)\). Hàm số \(y=f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
.png)
Tìm \(m\) để hàm số \(y = f({x^2} + m)\) có 3 điểm cực trị.
