Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {0; - 2; - 1} \right);\,\,B\left( { - 2; - 4;3} \right);\,\,C\left( {1;3; - 1} \right)\). Tìm điểm \(M \in \left( {Oxy} \right)\) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {IA} = \left( { - a; - 2 - b; - 1 - c} \right)\\\overrightarrow {IB} = \left( { - 2 - a; - 4 - b;3 - c} \right)\\\overrightarrow {IC} = \left( {1 - a;3 - b; - 1 - c} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \left( { - 5a + 1; - 5b + 3; - 5c + 1} \right)\)
\(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{5}\\b = \dfrac{3}{5}\\c = \dfrac{1}{5}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5};\dfrac{1}{5}} \right)\).
Khi đó ta có \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {MI} + 3\overrightarrow {IC} } \right| = \left| {5\overrightarrow {MI} } \right| = 5MI\)
Khi đó \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow M{I_{\min }} \Leftrightarrow M\) là hình chiếu của I trên \(\left( {Oxy} \right)\).\( \Rightarrow M\left( {\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5};0} \right)\).
Chọn A.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Trần Quý Cáp