Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):\,{{x}^{2}}\,+\,{{y}^{2}}\,+\,{{z}^{2}}\,=\,3$. Một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ và cắt các tia $Ox,\,Oy,\,Oz$ lần lượt tại các điểm $A,\,B,\,C$ thoả mãn $O{{A}^{2}}\,+\,O{{B}^{2}}\,+\,O{{C}^{2}}\,=\,27$. Diện tích của tam giác ABC bằng

A. $\frac{{9\sqrt 3 }}{2}$

B. $3\sqrt 3 $

C. $9\sqrt 3 $

D. $\frac{{3\sqrt 3 }}{2}$

Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

Giả sử $A\left( a;\,0;\,0 \right),\,B\left( 0;\,b;\,0 \right),\,C\left( 0;\,0;\,c \right)$

Do $A,\,B,\,C$ nằm trên các tia $Ox,\,Oy,\,Oz$ nên $a,\,b,\,c\,>\,0$.

$O{{A}^{2}}\,+\,O{{B}^{2}}\,+\,O{{C}^{2}}\,=\,27\,\Leftrightarrow \,{{a}^{2}}\,+\,{{b}^{2}}\,+\,{{c}^{2}}\,=\,27$

Ta có $\left( \alpha \right):\,\frac{x}{a}\,+\,\frac{y}{b}\,+\,\frac{z}{c}\,=\,1\,\Leftrightarrow \,bcx\,+\,cay\,+\,abz\,-\,abc\,=\,0$

Mặt cầu $\left( S \right):\,{{x}^{2}}\,+\,{{y}^{2}}\,+\,{{z}^{2}}\,=\,3$ có tâm O và bán kính $R\,=\,\sqrt{3}$

Do $\left( \alpha \right)$ tiếp xúc với \(\left( S \right)$ nên $d\left( O;\,\left( \alpha \right) \right)\,=\,\sqrt{3}\,\Leftrightarrow \,\frac{abc}{\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}\,+\,{{b}^{2}}{{c}^{2}}\,+\,{{c}^{2}}{{a}^{2}}}}\,=\,\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \,{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\,=\,3\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}\,+\,{{b}^{2}}{{c}^{2}}\,+\,{{c}^{2}}{{a}^{2}} \right)\,\Leftrightarrow \,\frac{1}{{{a}^{2}}}\,+\,\frac{1}{{{b}^{2}}}\,+\,\frac{1}{{{c}^{2}}}\,=\,\frac{1}{3}$

Ta có $\left( {{a}^{2}}\,+\,{{b}^{2}}\,+\,{{c}^{2}} \right)\left( \frac{1}{{{a}^{2}}}\,+\,\frac{1}{{{b}^{2}}}\,+\,\frac{1}{{{c}^{2}}} \right)\,\ge \,3.\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}.\frac{3}{\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}}\,=\,9$

Mà theo giả thiết $\left( {{a}^{2}}\,+\,{{b}^{2}}\,+\,{{c}^{2}} \right)\left( \frac{1}{{{a}^{2}}}\,+\,\frac{1}{{{b}^{2}}}\,+\,\frac{1}{{{c}^{2}}} \right)\,=\,9$ nên từ đó ta có $a\,=\,b\,=\,c\,=\,3$

${V_{OABC}} = \frac{{abc}}{6} = \frac{9}{2} \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{{3{V_{OABC}}}}{{d\left( {O,\left( \alpha \right)} \right)}} = \frac{{27}}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}$

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài