Cho hàm số bậc 4 \(y=f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=3f\left( 2 \right)=-3\) và có đồ thị hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) như hình:
.PNG)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc khoảng \(\left( -20;20 \right)\) để hàm số \(g\left( x \right)=f\left[ 4f\left( x \right)-f''\left( x \right)+m \right]\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0;1 \right)?\)
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét \(y=f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e\Rightarrow f'\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+3b{{x}^{2}}+2cx+d\).
Từ đồ thị \(y={f}'\left( x \right)\) ta có \({f}'(x)=4ax\left( {{x}^{2}}-1 \right)=4a{{x}^{3}}-4ax.\)
Vậy ta có hệ phương trình
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} b = 0\\ 2c = - 4\\ d = 0 \end{array} \right.a\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = 0\\ c = - 2a\\ d = 0 \end{array} \right. \end{array}\)
\(\Rightarrow f\left( x \right)=a{{x}^{4}}-2a{{x}^{2}}+e\).
Ta lại có
\(f\left( 0 \right)=3f\left( 2 \right)=-3\\\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=\frac{1}{4} \\ & e=-3 \\ \end{align} \right.\)
Vậy \(f\left( x \right)=\frac{1}{4}{{x}^{4}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-3.\)
Ta có \({f}'(x)={{x}^{3}}-x\)\(\Rightarrow f''\left( x \right)=3{{x}^{2}}-1\)\(\Rightarrow f'''\left( x \right)=6x\)
Xét hàm số \(g\left( x \right)=f\left( 2f\left( x \right)-f''\left( x \right)+m \right)\) trên đoạn \(\left[ 0;1 \right]\)
Ta có \(g'\left( x \right)=\left[ 4f'\left( x \right)-f'''\left( x \right) \right]f'\left[ 4f\left( x \right)-f''\left( x \right)+m \right]\)
Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0;1 \right)\) \(\Leftrightarrow g'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( 0;1 \right).\)
Mà \(4f'\left( x \right)-f'''\left( x \right)<0,\forall x\in \left( 0;1 \right)\) và \(4f\left( x \right)-f''\left( x \right)+m={{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+m-11\)
Nên \(g'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)\)
\(\Leftrightarrow f'\left[ 4f\left( x \right)-f''\left( x \right)+m \right]\le 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow f'\left( {{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+m-11 \right)\le 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^4} - 5{x^2} + m - 11 \le - 1,\forall x \in \left( {0;1} \right)\\ 0 \le {x^4} - 5{x^2} + m - 11 \le 1,\forall x \in \left( {0;1} \right) \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m - 10 \le - {x^4} + 5{x^2},\forall x \in \left( {0;1} \right)\\ \left\{ \begin{array}{l} m - 11 \ge - {x^4} + 5{x^2},\forall x \in \left( {0;1} \right)\\ m - 12 \le - {x^4} + 5{x^2},\forall x \in \left( {0;1} \right) \end{array} \right. \end{array} \right.\quad \left( * \right) \end{array}\)
Xét hàm số \(h\left( x \right)=-{{x}^{4}}+5{{x}^{2}}\) trên \(\left[ 0;1 \right]\)
Tìm được \(\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\min }}\,h\left( x \right)=0,\)\(\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }}\,h\left( x \right)=4.\)
Do đó
\(\begin{array}{l} \left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m - 10 \le 0\\ \left\{ \begin{array}{l} m - 11 \ge 4\\ m - 12 \le 0 \end{array} \right. \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m \le 10\\ \left\{ \begin{array}{l} m \ge 15\\ m \le 12 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 10. \end{array}\)
\(m\) nguyên thuộc khoảng \(\left( -20;20 \right)\Rightarrow m\in \left\{ -19,...,10 \right\}\)
\(\Rightarrow \) có 30 giá trị nguyên của m.
Chọn A
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Lương Văn Can
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu sau \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-6z-5=0.\) Tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\) có tọa độ là?
-
Một cấp số cộng có 2 số hạng liên tiếp là \(-6\) và \(4.\) Số hạng tiếp theo của cấp số cộng là?
-
Năm \(2023\), một hãng xe niêm yết giá bán loại xe X là \(750.000.000\) đồng và dự định trong \(10\) năm tiếp theo, mỗi năm giảm \(2%\) giá bán so với giá bán của năm liền trước. Theo dự định đó, năm \(2030\) hãng xe ô tô niêm yết giá bán loại xe X là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng nghìn)
-
Cho số thực \(a\) thỏa mãn \({{a}^{3}}>{{a}^{\pi }}\). Mệnh đề nào đúng?
-
Với \(a,b\) là các số thực dương tùy ý thỏa mãn \({{\log }_{3}}b-2{{\log }_{9}}a=2.\) Mệnh đề nào đúng?
-
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) có \(A{A}'=AD=a\), \(AB=a\sqrt{2}\) (tham khảo hình). Góc giữa đường thẳng \({A}'C\) và mặt phẳng \(\left( ABB'A' \right)\) bằng?
.PNG)
-
Cho hình trụ có bán kính đáy \(r=3\) và độ dài đường sinh \(l=5.\) Diện tích xung quanh Sxq của hình trụ đã cho bằng?
-
Nghiệm của phương trình sau \({{2}^{1-3x}}=\frac{1}{32}\) là?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) biết hàm số \(y={{f}'}'(x)\) là hàm đa thức bậc 4 có đồ thị như hình:
.PNG)
Đặt \(g(x)=2f\left( \frac{1}{2}{{x}^{2}} \right)+f\left( -{{x}^{2}}+6 \right)\), biết rằng \(g(0)>0\) và \(g\left( 2 \right)<0.\) Số điểm cực tiểu của hàm số \(y=\left| g\left( x \right) \right|\) là?
-
Cho hình trụ có 2 đáy là hình tròn tâm \(O\) và \({O}'\), chiều cao \(h=a\sqrt{3}\). Mặt phẳng đi qua tâm \(O\) và tạo với \(O{O}'\) một góc \(30{}^\circ \), cắt hai đường tròn tâm \(O\) và \(O'\) tại bốn điểm là bốn đỉnh của một hình thang có đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ và diện tích bằng \(3{{a}^{2}}.\) Thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng?
-
Số nghiệm của phương trình sau \({{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+4x \right)\)\( +{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( 3x+6 \right)=0\) là?
-
Cho khối nón có bán kính đáy \(r=3\) và góc ở đỉnh bằng \(60{}^\circ \). Tính thể tích của khối nón giới hạn bởi hình nón đã cho bằng?
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \({f}'(x)=-x+2\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\). Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào?
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( -10;6;-2 \right),B\left( -5;10;-9 \right)\) và mp \(\left( \alpha \right):2x-2y-z+12=0\). Điểm \(M\left( a;b;c \right)\) thuộc \(\left( \alpha \right)\) sao cho \(MA,MB\) tạo với \(\left( \alpha \right)\) các góc bằng nhau và biểu thức \(T=2M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng \(a+b+c\) bằng?
-
Cho hàm số bậc 4 sau \(f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e\ \left( a,b,c,d,e\in \mathbb{R} \right)\) và hàm số bậc 3 sau \(g\left( x \right)=m{{x}^{3}}+n{{x}^{2}}+px+q\ \left( m,n,p,q\in \mathbb{R} \right)\) có đồ thị \(y=f'\left( x \right)\) và \(y=g'\left( x \right)\) như hình:
.PNG)
Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) và \(y=g\left( x \right)\) bằng 96 và \(f\left( 2 \right)=g\left( 2 \right)\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=f\left( x \right),y=g\left( x \right)\) và \(x=0,\ x=2\) bằng?
-
Đường cong trong hình bên là đồ thị hàm số nào trong 4 hàm số dưới đây?
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\left( x-1 \right).\log \left( {{e}^{-x}}+m+2023 \right)=x-2\) có 2 nghiệm thực phân biệt?
-
Trong các khẳng định bên dưới đây, khẳng định nào sai?
-
Hàm số nào có bảng biến thiên như hình sau:
-
Cho hàm số sau \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 1;8 \right]\) và thỏa mãn
\(\int\limits_{1}^{2}{{{\left[ f\left( {{x}^{3}} \right) \right]}^{2}}}dx+2\int\limits_{1}^{2}{f\left( {{x}^{3}} \right)}dx-\frac{4}{3}\int\limits_{1}^{8}{f\left( x \right)}dx=-\frac{247}{15}\).
Giả sử \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ 1;8 \right].\)Tích phân \(\int\limits_{1}^{8}{xF'\left( x \right)}dx\) bằng?
