Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right)=\left( 2x+1 \right){{e}^{x-f\left( x \right)}}\) với mọi \(x\in \left( \frac{1}{2};+\infty \right)\) và \(f\left( 1 \right)=1\). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \(m\) để bất phương trình sau \({{3}^{x}}\ge \left( f\left( x \right)-m \right)\ln 3\) nghiệm đúng với mọi \(x\in \left( \frac{1}{2};+\infty \right)\)?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(f'\left( x \right).{{e}^{f\left( x \right)}}=\left( 2x+1 \right){{e}^{x}}\) \(\Leftrightarrow f'\left( x \right){{e}^{f\left( x \right)}}=\left[ \left( 2x-1 \right)+2 \right]{{e}^{x}}={{\left[ \left( 2x-1 \right){{e}^{x}} \right]}^{\prime }}\), \(\forall x\in \left( \frac{1}{2};+\infty \right)\)
Nguyên hàm hai vế của phương trình ta được:\({{e}^{f\left( x \right)}}=\left( 2x-1 \right){{e}^{x}}+C\).
Mặt khác, \(f\left( 1 \right)=1\) nên ta có \({{e}^{1}}=\left( 2.1-1 \right){{e}^{1}}+C\Rightarrow C=0\).
Vậy \({{e}^{f\left( x \right)}}=\left( 2x-1 \right){{e}^{x}}\Rightarrow f\left( x \right)=\ln \left( 2x-1 \right)+x\).
Khi đó \({{3}^{x}}\ge \left( f\left( x \right)-m \right)\ln 3\Leftrightarrow \frac{{{3}^{x}}}{\ln 3}\ge \ln \left( 2x-1 \right)+x-m,\forall x>\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow m\ge \ln \left( 2x-1 \right)+x-\frac{{{3}^{x}}}{\ln 3},\forall x\in \left( \frac{1}{2};+\infty \right)\).
Đặt \(g\left( x \right)=\ln \left( 2x-1 \right)+x-\frac{{{3}^{x}}}{\ln 3}\) với \(x\in \left( \frac{1}{2};+\infty \right)\).
Ta có: \(g'\left( x \right)=\frac{2}{2x-1}+1-{{3}^{x}}=\frac{2x+1}{2x-1}-{{3}^{x}}\). Cho \(g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \frac{2x+1}{2x-1}={{3}^{x}}\)
Nhận xét trên \(\left( \frac{1}{2};+\infty \right)\), \(h\left( x \right)={{3}^{x}}\) là hàm đồng biến và \(k\left( x \right)=\frac{2x+1}{2x-1}\) là hàm nghịch biến
Đồng thời \(h\left( 1 \right)=k\left( 1 \right)\) nên \(x=1\) là nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\).
Ta có bảng biến thiên của \(g\left( x \right)\) như sau:
.PNG)
Dựa vào bảng biến thiên và yêu cầu bài toán ta có \(m\ge g\left( 1 \right)=1-\frac{3}{\ln 3}\approx -1,73\)
Do \(m\in {{\mathbb{Z}}^{-}}\Rightarrow m=-1\). Vậy chỉ có duy nhất 1 giá trị của \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.
Chọn A
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Trần Cao Vân
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y=\frac{x+a}{bx+c}\) có đồ thị như hình dưới:
Khẳng định nào đúng?
-
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình sau \(4{{z}^{2}}+4\left( m-1 \right)z+{{m}^{2}}-3m=0\) có 2 nghiệm phức \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{10}\)?
-
Số giá trị nguyên nhỏ hơn \(2020\) của tham số \(m\) để phương trình sau \({{{\log }_{6}}\left( 2020x+m \right)={{\log }_{4}}\left( 1010x \right)}\) có nghiệm là?
-
Với \(a\) là số thực dương tuỳ ý, giá trị của \(\log \left( \frac{10}{{{a}^{2}}} \right)\) bằng?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có BBT như sau:
Số nghiệm thuộc khoảng \(\left( -\infty ;\ln 2 \right)\) của phương trình \(2020f\left( 1-{{e}^{x}} \right)-2021=0\) là?
-
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng \(y={{x}^{3}}\) & \(y=2{{x}^{2}}\) là?
-
Trong mặt phẳng tọa độ \(O\,xy,\,\) tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn \(3+\overline{iz}\) là số thuần ảo, là 1 đường thẳng có phương trình?
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm là \({f}'(x)=(2-x){{\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-m \right)}^{2021}},\forall x\in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng \((-2021 ; 2022)\) của tham số \(\mathrm{m}\) để hàm số \(g(x)=f\left(x^{2}-2\right)+\frac{1}{2} x^{4}-4 x^{2}+2022\) có đúng 5 điểm cực trị?
-
Nghiệm của bất phương trình sau đây \({{\log }_{2}}x>1\) là?
-
Cho hàm số \(y=\,f(x)=\,a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d,\,\) \((a,\,b,\,c,\,d\,\in \mathbb{R},\,a\ne \,0)\). Biết đồ thị \((C)\) của hàm số \(y=\,f(x)\) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ âm. ĐTHS \(y=\,{f}'(x)\) như hình vẽ. Tính diện tích \(S\) của hình phẳng tạo bởi đồ thị \((C)\) và trục hoành?
-
Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\). Góc giữa 2 đường thẳng \(B{A}'\) và \({B}'{D}'\) bằng?
-
Họ nguyên hàm của hàm số sau đây \(f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-\frac{1}{x}+\frac{2}{{{x}^{2}}}\) là?
-
Trong không gian cho mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}=9\). Từ điểm \(A\left( 4;0;1 \right)\) nằm ngoài mặt cầu kẻ 1 tiếp tuyến bất kỳ đến \(\left( S \right)\) với tiếp điểm \(M\). Tập hợp tất cả các điểm \(M\) là đường tròn có bán kính bằng?
-
Số đường tiệm cận của ĐTHS \(y=\frac{x}{x-1}\) là?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)=\,{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\in \left[ 0\,;\,10 \right]\) để hàm số \(g\left( x \right)=f\left( 3\left| x-m \right|+{{m}^{2}} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( -\infty \,;\,1 \right)\)?
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, biết \(BC=2a\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. K/c từ \(D\) đến mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) bằng?
-
Cho \(a,b,c\) là các số dương khác \(1\) thoả mãn \({{\log }_{a}}b=2,\,{{\log }_{b}}c=3\). Tính giá trị của \({{\log }_{c}}a\)?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=\frac{2}{3}\) và \(\left( \sqrt{x}+\sqrt{x+1} \right).{f}'\left( x \right)=1,\forall x\ge -1\). Biết \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\frac{a\sqrt{2}+b}{15}\) với \(a,b\in \mathbb{Z}\). Tính giá trị của \(T=a+b\)?
-
Cho số phức \(z=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}i\). Tìm tọa độ điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z\) là?
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( 1\,;\,1\,;\,2 \right)\), \(B\left( 2\,;\,3;\,-3 \right)\). Tìm phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) thuộc trục \(Oy\) và đi qua hai điểm \(A,\,B\)?
