Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm là \({f}'(x)=(2-x){{\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-m \right)}^{2021}},\forall x\in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng \((-2021 ; 2022)\) của tham số \(\mathrm{m}\) để hàm số \(g(x)=f\left(x^{2}-2\right)+\frac{1}{2} x^{4}-4 x^{2}+2022\) có đúng 5 điểm cực trị?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(g(x)=f\left( {{x}^{2}}-2 \right)+\frac{1}{2}{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+2022\)\( \Rightarrow {g}'(x)=2x.{f}'\left( {{x}^{2}}-2 \right)+2{{x}^{3}}-8x.\)
\({g}'(x)=0.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & {f}'\left( {{x}^{2}}-2 \right)+{{x}^{2}}-4=0 \\ \end{align} \right.\)
\({f}'(x)=(2-x){{\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-m \right)}^{2021}}\)\( \Rightarrow {f}'\left( {{x}^{2}}-2 \right)=\left( 4-{{x}^{2}} \right){{\left( {{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{3}}-{{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}-m \right)}^{2021}}\)\({f}'\left( {{x}^{2}}-2 \right)+{{x}^{2}}-4=0\)\( \Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-4 \right)\left[ 1-{{\left( {{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{3}}-{{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}-m \right)}^{2021}} \right]=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}^{2}}-4=0 \\ & 1-{{\left( {{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{3}}-{{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}-m \right)}^{2021}}=0 \\ \end{align} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2 \\ & x=-2 \\ & {{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{3}}-{{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}-m=1 \\ \end{align} \right.\)
Xét phương trình \({{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{3}}-{{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}-m=1\ \left( 1 \right)\).
Đặt \(t={{x}^{2}}-2\Rightarrow t\in \left[ -2;+\infty \right)\).
.PNG)
Ta được phương trình \({{t}^{3}}-{{t}^{2}}=m+1\).
Xét hàm \(g\left( t \right)={{t}^{3}}-{{t}^{2}}\).
Để hàm số có đúng 5 cực trị điều kiện là có đúng 2 nghiệm phân biệt khác 0 và - 2, 2. Với mỗi \(t\in \left( -2;+\infty \right)\) thì phương trình \(t={{x}^{2}}-2\) có hai nghiệm \(x\) phân biệt khác 0.
Do đó, yêu cầu bài toán
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & -12< m+1 \le \frac{-4}{27} \\ & 0\le m+1<2022 \\ & m\in Z \\ & m+1\ne 4 \\ \end{align} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & -13 < m\le \frac{-31}{27} \\ & -1\le m+1<2021 \\ & m\in Z \\ & m\ne 3 \\ \end{align} \right.\)
\(\Leftrightarrow m\in \left\{ -12;...;-2;-1;...;2;4;...;2020 \right\}\).
Vậy có 2032 giá trị của \(\mathrm{m}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn C
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Trần Cao Vân
Câu hỏi liên quan
-
Hàm số nào có đồ thị như đường cong trong hình bên?
-
Nguyên hàm của hàm số sau đây \(f(x)={{3}^{x}}-x\) là?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có BBT như sau:
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương \(m\) để phương trình \(3f\left( x \right)+2m=0\) có \(2\) nghiệm thực phân biệt?
-
Cho số phức \(z\) thỏa mãn rằng \(3z+2\overline{z}={{\left( 4-i \right)}^{2}}\). Mô đun của số phức \(z\) là?
-
Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\). Góc giữa 2 đường thẳng \(B{A}'\) và \({B}'{D}'\) bằng?
-
Xếp ngẫu nhiên \(6\) học sinh nam và \(4\) học sinh nữ quanh 1 bàn tròn. Xác suất để các học sinh nữ luôn ngồi cạnh nhau là?
-
Cho tập hợp \(A\) có \(7\) phần tử. Cho biết số tập con có \(3\) phần tử của tập \(A\) là?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho 2 đường thẳng \({{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-1}\) và \({{d}_{2}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-2}{-2}\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng song song với mặt phẳng \(\left( P \right):x+y+z-7=0\) và cắt \({{d}_{1}},\,{{d}_{2}}\) lần lượt tại hai điểm \(A,\,B\) sao cho \(AB\) ngắn nhất. phương trình của đường thẳng \(\Delta \) là?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)=\,{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\in \left[ 0\,;\,10 \right]\) để hàm số \(g\left( x \right)=f\left( 3\left| x-m \right|+{{m}^{2}} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( -\infty \,;\,1 \right)\)?
-
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng \(y={{x}^{3}}\) & \(y=2{{x}^{2}}\) là?
-
Tìm mặt phẳng chứa \(\left( \Delta \right)\) và song song với \(AB\) có phương trình là?
-
Cho hàm số \(y=\frac{x+a}{bx+c}\) có đồ thị như hình dưới:
Khẳng định nào đúng?
-
Số nghiệm thực phân biệt của phương trình sau đây \({{5}^{{{x}^{2}}}}{{3}^{{{x}^{2}}+1}}=1\) là?
-
Số giá trị nguyên nhỏ hơn \(2020\) của tham số \(m\) để phương trình sau \({{{\log }_{6}}\left( 2020x+m \right)={{\log }_{4}}\left( 1010x \right)}\) có nghiệm là?
-
Trong mặt phẳng tọa độ \(O\,xy,\,\) tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn \(3+\overline{iz}\) là số thuần ảo, là 1 đường thẳng có phương trình?
-
Số đường tiệm cận của ĐTHS \(y=\frac{x}{x-1}\) là?
-
Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( 2;-3;1 \right)\) và mp \(\left( \alpha \right):x+3y-z+2=0\). Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình là?
-
Họ nguyên hàm của hàm số sau đây \(f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-\frac{1}{x}+\frac{2}{{{x}^{2}}}\) là?
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, biết \(BC=2a\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. K/c từ \(D\) đến mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) bằng?
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( 1\,;\,1\,;\,2 \right)\), \(B\left( 2\,;\,3;\,-3 \right)\). Tìm phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) thuộc trục \(Oy\) và đi qua hai điểm \(A,\,B\)?
