Cho hàm số sau
\(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & 3{{x}^{2}}\ln \left( x+1 \right)\text{ khi }x\ge 0 \\ & 2x\sqrt{{{x}^{2}}+3}+1\text{ khi }x<0 \\ \end{align} \right.\).
Biết \(\int\limits_{\frac{1}{e}}^{e}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}dx}=a\sqrt{3}+b\ln 2+c\) với \(a,b,c\in \mathbb{Q}\). Giá trị của \(a+b+6c\) bằng?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t=\ln x\), \(dt=\frac{1}{x}dx\) và \(x=\frac{1}{e}\)\(\Rightarrow t=-1\); \(x=e\)\(\Rightarrow t=1\).
\(\int\limits_{\frac{1}{e}}^{e}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}dx}=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{-1}^{0}{\left( 2t\sqrt{{{t}^{2}}+3}+1 \right)dt}+\int\limits_{0}^{1}{3{{t}^{2}}\ln \left( t+1 \right)dt}\).
Tính \(I=\int\limits_{-1}^{0}{\left( 2t\sqrt{{{t}^{2}}+3}+1 \right)dt}=\int\limits_{-1}^{0}{2t\sqrt{{{t}^{2}}+3}dt}+\int\limits_{-1}^{0}{dt}=\int\limits_{-1}^{0}{2t\sqrt{{{t}^{2}}+3}dt}+1\).
Đặt \(u=\sqrt{{{t}^{2}}+3}\)\(\Rightarrow udu=tdt\); \(t=-1\Rightarrow u=2;t=0\Rightarrow u=\sqrt{3}\).
\(I=\int\limits_{2}^{\sqrt{3}}{2{{u}^{2}}du}+1=\left. 2\frac{{{u}^{3}}}{3} \right|_{2}^{\sqrt{3}}+1=2\sqrt{3}-\frac{13}{3}\).
Tính \(J=\int\limits_{0}^{1}{3{{t}^{2}}\ln \left( t+1 \right)dt}\)
\(\left\{ \begin{align} & u=\ln \left( t+1 \right) \\ & dv={{t}^{2}}dt \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & du=\frac{1}{t+1}dt \\ & v=\frac{{{t}^{3}}+1}{3} \\ \end{align} \right.\)
\(J=\left. \left( {{t}^{3}}+1 \right)\ln \left( t+1 \right) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{\left( {{t}^{2}}-t+1 \right)dt}\)\(=\left. \left( {{t}^{3}}+1 \right)\ln \left( t+1 \right) \right|_{0}^{1}-\left. \left( \frac{{{t}^{3}}}{3}-\frac{{{t}^{2}}}{2}+t \right) \right|_{0}^{1}\)\(=2\ln 2-\frac{5}{6}\).
Vậy \(\int\limits_{\frac{1}{e}}^{e}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}dx}\)\(=2\sqrt{3}+2\ln 2-\frac{31}{6}\).
\(\Rightarrow \)\(A+b+6c=2+2-31=-27\).
Chọn C
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Trần Khai Nguyên
Câu hỏi liên quan
-
Cho HS \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=\frac{2}{3}\) và \(\left( \sqrt{x}+\sqrt{x+1} \right).{f}'\left( x \right)=1,\forall x\ge -1\). Biết \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\frac{a\sqrt{2}+b}{15}\) với \(a,b\in \mathbb{Z}\). Tính \(T=a+b\)?
-
Cho 6 HS gồm 2 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang. Tính xác suất để nhóm bất kì 3 học sinh liền kề nhau trong hàng luôn có mặt học sinh của 3 lớp A, B, C?
-
Cho HS \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), có đồ thị \({f}'\left( x \right)\) như hình:
.PNG)
Số điểm cực tiểu của hàm số \(g\left( x \right)=f\left( -{{x}^{2}}+x \right)\) là?
-
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2a\), cạnh bên bằng \(3a\).
.PNG)
K/c từ \(A\) đến mp \(\left( SCD \right)\) bằng?
-
Cho HS \(f\left( x \right)\), \(g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ 0;\,2 \right]\) và \(\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=2\), \(\int\limits_{0}^{2}{g\left( x \right)\text{d}x}=-2\). Tính \(\int\limits_{0}^{2}{\left[ 3f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]\text{d}x}\)?
-
Trong không gian \(Oxyz,\) hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( 3;\,1;\,2 \right)\) lên trục \(Oy\) là điểm nào?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị là đường cong như hình vẽ:
Số nghiệm của phương trình \(2f\left( x \right)+1=0\) là?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( 1;1;-2 \right)\); \(B\left( 2;0;3 \right)\); \(C\left( -2;4;1 \right)\). Mp đi qua \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(BC\) có phương trình là?
-
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy là \(B=3\) và chiều cao \(h=4\). Thể tích của khối lăng trụ này bằng?
-
Có tất cả bao nhiêu bộ \(\left( x;y \right)\) với \(x,y\) nguyên và \(1\le x,y\le 2020\) thỏa mãn \(\left( xy+2x+4y+8 \right){{\log }_{3}}\left( \frac{2y}{y+2} \right)\le \left( 2x+3y-xy-6 \right){{\log }_{2}}\left( \frac{2x+1}{x-3} \right)\)?
-
Cho CSC \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có số hạng đầu \({{u}_{1}}=2\) và số hạng thứ tư \({{u}_{4}}=17\). Công sai của cấp số cộng đã cho bằng?
-
Cho các số phức sau \(z=2+i\) và \(\omega =3-2i\). Phần ảo của số phức \(z+2\omega \) bằng?
-
Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left( x \right)\). Biết hàm số \(y={f}'\left( 1+x \right)\) có đồ thị như trong hình:
.PNG)
Có bao nhiêu số nguyên dương \(m\) sao cho hàm số \(g\left( x \right)=f\left( -{{x}^{2}}+2x-2022+m \right)\) đồng biến trên \(\left( 0\,;\,1 \right)\)?
-
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng \(a\sqrt{3}\). Cắt hình trụ bởi 1 mặt phẳng song song với trục, cách trục 1 khoảng bằng a ta được thiết diện là một hình vuông. Thể tích khối trụ đó bằng?
-
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z+1 \right|\ge 1\). Gọi GTLN và GTNN của biểu thức \(P=\left| \frac{\left( 1+i \right)z+i+2}{z+1} \right|\) lần lượt là \(M\) và \(m\). Khi đó giá trị của \(\left( {{M}^{2}}+{{m}^{2}} \right)\) bằng?
-
Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \((S):(x+2)^{2}+y^{2}+(z+5)^{2}=24\) cắt mp \((\alpha): x+y+4=0\) theo giao tuyến là đường tròn \((C)\). Điểm \(M\) thuộc \((C)\) sao cho khoàng cách từ \(M\) đến \(A(4 ;-12 ; 1)\) nhỏ nhất có tung độ bằng?
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mp \(\left( P \right):\,2x+y-z+3=0\). Điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\)?
-
TXĐ của hàm số \({y=\sqrt{\log _{\frac{1}{2}}\left(x^{2}+7 x\right)+3}}\) là?
-
Gọi \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị sau \(y={{x}^{2}}-2x\), \(y=0\) trong mặt phẳng \(Oxy\). Quay hình \(\left( H \right)\) quanh trục hoành ta được một khối tròn xoay có thể tích bằng?
-
Nghiệm của phương trình sau \({{\log }_{2}}\left( x-1 \right)=4\) là?
