Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( 0\,;\,1\,;\,1 \right)\), \(B\left( 2\,;\,-1\,;\,1 \right)\), \(C\left( 4\,;\,1\,;\,1 \right)\) và \(\left( P \right)\,:\,x+\,y+z-6\,=\,0\). Xét điểm \(M\left( a\,;\,b\,;\,c \right)\) thuộc \(\left( P \right)\) sao cho \(\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|\) đạt GTNN. Giá trị của \(\,2a+4b+c\) bằng?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa gọi điểm \(I\left( x\,;\,y\,;\,z \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\)\( =\,\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MI}\)\( +\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\)\( +2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\).
Suy ra, \(\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|\)\( =\left| 4\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC} \right|\).
Ta chọn điểm \(I\left( x\,;\,y\,;\,z \right)\) sao cho \(\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\,=\,\overrightarrow{O}\,\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -x+2\left( 2-x \right)+4-x=0 \\ & 1-y+2\left( -1-y \right)+1-y\,=\,0 \\ & 1-z+2\left( 1-z \right)+1-z\,=\,0 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=2 \\ & y=\,0 \\ & z\,=\,1 \\ \end{align} \right.\)
\(\Rightarrow I\left( 2\,;\,0\,;\,1 \right)\).
Vậy, với điểm \(I\left( 2\,;\,0\,;\,1 \right)\) ta có \(\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=\left| 4\overrightarrow{MI} \right|\). Do \(I\left( 2\,;\,0\,;\,1 \right)\notin \,\left( P \right)\) mà \(M\left( a\,;\,b\,;\,c \right)\in \,\left( P \right)\) nên \(\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi\(\left| 4\overrightarrow{MI} \right|\) có độ dài nhỏ nhất.
Vậy, để thỏa mãn điều kiện đó khi \(M\left( a\,;\,b\,;\,c \right)\) là hình chiếu của \(I\left( 2\,;\,0\,;\,1 \right)\) lên \(\left( P \right)\).
Ta gọi \(d\) là đường thẳng qua điểm \(I\left( 2\,;\,0\,;\,1 \right)\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Ta có phương trình của \(d\,:\,\frac{x-2}{1}\,=\,\frac{y}{1}\,=\,\frac{z-1}{1}\).
Do \(M=\,d\,\cap \,\left( P \right)\) nên tọa độ điểm \(M\left( a\,;\,b\,;\,c \right)\) thỏa hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{align} & a-b\,=\,2 \\ & a\,-c\,=\,1 \\ & a+b+c\,=\,6 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a\,=\,3 \\ & b\,=\,1 \\ & c\,=\,2 \\ \end{align} \right.\)
Suy ra \(\,2a+4b+c=2.3+4.1+2=12\).
Chọn B
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Trần Hữu Trang
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu có tâm \(I\left( -1;2;-3 \right)\) và đi qua điểm \(A\left( 2;0;0 \right)\) có phương trình là?
-
Cho CSN \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có \({{u}_{1}}=1,\,\,{{u}_{2}}=-2\). Giá trị của \({{u}_{2019}}\) bằng?
-
Trong không gian \(Oxyz\), tam giác \(ABC\) với \(A\left( 3;-1;2 \right)\), \(B\left( -1;3;5 \right)\) và \(C\left( 3;1;-3 \right)\). Đường trung tuyến \(AM\) của \(\Delta ABC\) có phương trình là?
-
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có \(SA=SB=SC=SD=4\sqrt{11}\) và đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(8\). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( 2;1;1 \right)\), mp \(\left( \alpha \right):x+y+z-4=0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}=16\). Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\) và nằm trong \(\left( \alpha \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất. Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm nào trong các điểm sau đây?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho 2 điểm \(A\left( -2\,;-1\,;\,3 \right)\) và \(B\left( 0\,;\,3\,;\,1 \right)\). Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn \(AB\). Một vec tơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) có tọa độ là?
-
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(z+2i.\overline{z}=1+17i\). Khi đó giá trị của \(\left| z \right|\) bằng?
-
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho 2 điểm \(A\left( 2;1;3 \right),B\left( 6;5;5 \right)\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu đường kính \(AB\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với \(AB\) tại \(H\) sao cho khối nón đỉnh \(A\) và đáy là hình tròn tâm \(H\) là giao tuyến của \(\left( S \right)\) và \(\left( P \right)\) có thể tích lớn nhất, biết rằng \(\left( P \right):2x+by+cz+d=0\) với \(b,c,d\in \mathbb{Z}\). Tính \(S=b+c+d\)?
-
Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3x+2\) có đồ thị như hình dưới. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({{x}^{3}}-3x+2-2m=0\) có 3 nghiệm thực phân biệt?
.PNG)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đồ thị như hình dưới. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng?
-
Hàm số sau \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)=\left( {{x}^{4}}-{{x}^{2}} \right){{\left( x+2 \right)}^{3}},\forall x\in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số là?
-
Tập nghiệm của BPT \({{\log }_{2}}\left( 4x+8 \right)-{{\log }_{2}}x\le 3\) là?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ:
.PNG)
Tập hợp tất cả giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( 2\sin x+1 \right)=m\) có nghiệm thuộc nửa khoảng \(\left[ 0\,;\frac{\pi }{6} \right)\) là?
-
Tìm tham số \(m\) để ĐTHS \(y=\frac{\left( m+1 \right)x-5m}{2x-m}\) có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=1\)?
-
Cho 2 số thực \(a\),\(b\) thoả mãn \(2{{\log }_{3}}\left( a-2b \right)={{\log }_{3}}a+{{\log }_{3}}b\) và \(a>2b>0\). Khi đó \(\frac{a}{b}\) bằng?
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), cạnh \(SA\) vuông góc với mp đáy và \(SA=2a\), gọi \(M\) là trung điểm của \(SC\). Tính côsin của góc \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(BM\) và \(\left( ABC \right)\)?
-
Cho biết \(\int\limits_{0}^{1}{f(x)\text{d}x}=-3\) và \(\int\limits_{0}^{1}{g(x)\text{d}x}=2\), khi đó \(\int\limits_{0}^{1}{\left[ f\left( x \right)+2g\left( x \right) \right]\text{d}x}\) bằng?
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng 1. Biết k/c từ \(A\) đến mp \(\left( SBC \right)\) là \(\frac{\sqrt{6}}{4}\), từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) là \(\frac{\sqrt{15}}{10}\), từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) là \(\frac{\sqrt{30}}{20}\).và hình chiếu vuông góc của \(S\) xuống đáy nằm trong tam giác \(ABC\). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng?
-
Cho hình nón có thiết diện qua trục là 1 tam giác cân có góc ở đỉnh bằng \({{120}^{0}}\), cạnh bên bằng \(2\). Chiều cao \(h\) của hình nón là?
-
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để BPT \({{x}^{6}}+3{{x}^{4}}-{{m}^{3}}{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-mx+2\ge 0\) đúng với mọi \(x\in \left[ 1;3 \right]\). Tổng của tất cả các phần tử thuộc \(S\) bằng?
