Cho dãy số xác định bởi\(\left\{\begin{array}{l} u_{1}=1 \\ u_{n+1}=u_{n}+7 ; n \geq1 \end{array}\right.\). Số hạng thứ mấy trong dãy số có giá trị là 14113?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} \text { Ta có: } u_{2} &=u_{1}+7=1+7=8=7.2-6 . \\ u_{3} &=u_{2}+7=8+7=15=7.3-6 . \\ u_{4} &=u_{3}+7=15+7=22=7.4-6 . \\ u_{5} &=u_{4}+7=22+7=7.5-6 . \end{aligned}\)
\(\text { Nhận thấy quy luật nên giả sử } u_{u}=7 n-6 \quad(1)\)
\(\text { Với } n=1, \text { ta có: } u_{1}=7.1-6=1 \text { (đúng). }\text { Vậy (1) đúng với } n=1 \text { . }\)
\(\text { Giả sử (1) đúng với } n=k\left(k \in N^{*}\right) \text { . Có nghĩa là ta có: } u_{k}=7 k-6 \text { . }\)
\(\begin{aligned} &\text { Ta phải chứng minh (1) đúng với } n=k+1 \text { . Có nghĩa ta phải chứng minh: }\\ &u_{k+1}=7(k+1)-6 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Từ hệ thức xác định dãy số }\left(u_{n}\right) \text { và giả thiết quy nạp ta có: }\\ &u_{k+1}=u_{k}+7=(7 k-6)+7=7(k+1)-6 \text { (đúng). } \end{aligned}\)
vậy \(u_{n}=7 n-6\)
Theo đề bài ta có
\(7 n-6=14113 \Leftrightarrow n=2017\)
