Cho hai véc tơ \(\vec{a} \text { và } \vec{b}\) thỏa mãn các điều kiện \(|\vec{a}|=\frac{1}{2}|\vec{b}|=1,|\vec{a}-2 \vec{b}|=\sqrt{15}\). Đặt \(\vec{u}=\vec{a}+\vec{b} \text { và } \vec{v}=2 k \vec{a}-\vec{b}, k \in \mathbb{R}\) . Tìm tất cả các giá trị của k sao cho \((\vec{u}, \vec{v})=60^{\circ}\).
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &|\vec{a}-2 \vec{b}|=\sqrt{15} \Leftrightarrow|\vec{a}|^{2}+4|\vec{b}|^{2}-4 \vec{a} \vec{b}=15 \Leftrightarrow 2 \vec{a} \vec{b}=1 \\ &\vec{u} \vec{v}=(\vec{a}+\vec{b})(2 k \vec{a}-\vec{b})=2 k|\vec{a}|^{2}-|\vec{b}|^{2}+(2 k-1) \vec{a} \vec{b}=2 k-4+\frac{2 k-1}{2} . \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &(|\vec{u}||\vec{v}|)^{2}=(|(\vec{a}+\vec{b})||(2 k \vec{a}-\vec{b})|)^{2}=\left(|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+2 \vec{a} \vec{b}\right)\left(4 k^{2}|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}-4 k \vec{a} \vec{b}\right) \\ &=(5+2 \vec{a} \vec{b})\left(4 k^{2}+4-4 k \vec{a} \vec{b}\right)=6\left(4 k^{2}+4-2 k\right) \Rightarrow|\vec{u}||\vec{v}|=\sqrt{6\left(4 k^{2}+4-2 k\right)} . \end{aligned}\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} k \geq \frac{3}{2} \\ k=4 \pm \frac{3 \sqrt{5}}{2} \end{array} \Leftrightarrow k=4+\frac{3 \sqrt{5}}{2}\right.\)
