Cho hàm số \(y = f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ge 1\\ 2x - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x < 1 \end{array} \right.\). Hãy chọn câu sai:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(f\left( 1 \right) = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {x^2} = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (2x - 1) = 1\)
Vậy hàm số liên tục tại \({x_0} = 1\). C đúng.
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} \right) \\= 2\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{(2x - 1) - 1}}{{x - 1}} \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} \\= 2\)
Vậy hàm số có đạo hàm tại \({x_0} = 1\)