Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật; \(AB=a;\,AD=2a\). Tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mp\(\left( ABCD \right)\) bằng \(45{}^\circ \). Gọi M là trung điểm của \(SD\). Tính theo a khoảng cách d từ điểm M đến \(\left( SAC \right)\).
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi H là trung điểm đoạn AB\(\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\).
Xét \(\vartriangle BCH\) vuông tại B, có: \(CH=\sqrt{4{{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{17}}{2}\).
Xét \(\vartriangle SHC\) vuông cân tại H, có: \(SH=\frac{a\sqrt{17}}{2};\,SC=\frac{a\sqrt{34}}{2}\).
Xét \(\vartriangle SAH\) vuông tại H, có: \(SA=\sqrt{\frac{17{{a}^{2}}}{4}+\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}a\).
Xét \(\vartriangle ABC\) vuông tại B, có: \(AC=\sqrt{{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=a\sqrt{5}\).
\(\Rightarrow {{S}_{\vartriangle SAC}}=\frac{\sqrt{89}}{4}{{a}^{2}}\).
Ta có: \({{V}_{S.ABCD}}=V=\frac{1}{3}.SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{17}}{3}\); \({{V}_{S.ACD}}=\frac{1}{2}V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{17}}{6}\).
\({{V}_{S.ACM}}=\frac{1}{2}{{V}_{S.ACD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{17}}{12}\). Mà \({{V}_{S.MAC}}=\frac{1}{3}.d.{{S}_{\vartriangle SAC}}=\frac{\sqrt{89}}{12}{{a}^{2}}.d\)\(\Rightarrow d=\frac{a\sqrt{1513}}{89}\).
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính thể tích V của hình lập phương biết rằng khoảng cách từ trung điểm I của AB đến mặt phẳng \(\left( {A’B’CD} \right)\) bằng \(\frac{a}{{\sqrt 2 }}\)
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh A và AB = AC, SA = SB = SC = 3a. Góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABC) là 60o. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB. Thể tích khối chóp S.GBC là:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, \(A D=D C=1, A B=2\). Cạnh bên SA vuông góc với đáy, mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy một góc 450 .Thể tích của khối chóp đã cho bằng
-
Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a\sqrt{3}\) , cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABC\).
-
Cho hình chóp S.ABC biết \(AB = 8,\,\,BC = 4,\widehat {\,ABC} = {60^0}\). Hình chiếu của S lên cạnh AB là điểm K sao cho KB = 3KA. Biết \(SB,\,SC\) cùng hợp với đáy một góc \({60^0}\). Tính thể tích khối chóp S.ABC.
-
Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD . có đáy là hình vuông tâm O, cạnh bằng a. Cạnh bên bằng \(a \sqrt{3}\). Gọi M là trung điểm của CD, H là điểm đối xứng của O qua SM (tham khảo hình vẽ bên). Thể tích khối đa diện ABCDSH bằng
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên \(SAD\) là tam giác vuông tại \(S\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt phẳng đáy là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA=3HD. Biết rằng \(SA=2a\sqrt{3}\) và \(SC\) tạo với đáy một góc bằng \(30{}^\circ \). Tính theo a thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\).
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, SA = CD = 3a, SA vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Thể tích khối chóp S.ABCD bằng.
-
Cho hình lập phương có cạnh bằng 1. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương đó bằng
-
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
-
Cho hình chóp S.ABC có \( SA = SB = SC = a\sqrt 3 ;AB = AC = a;BC = 3a\). Thể tích khối chóp S.ABC bằng:
-
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và \(\widehat{B A D}=60^{\circ}\). Đường thẳng SO vuông góc với đáy và mặt phẳng (SCD) tạo với mặt đáy một góc bằng 600 .Thể tích của khối chóp đã cho bằng
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\), cạnh \(SB\) vuông góc với đáy và mặt phẳng \(\left( SAD \right)\) tạo với đáy một góc \({{60}^{{}^\circ }}\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\).
-
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. M là một điểm bất kì bên trong tứ diện. Tổng khoảng cách từ M đến các mặt của khối tứ diện là
-
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc mặt phẳng (ABC); AC=AD=4; AB=3; BC=5. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
-
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Biết AB = a, AD = 2a, AA’ = 3a. Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’.
-
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC có \(AC=a\sqrt{3};BC=3a,\widehat{ACB}={{30}^{0}}\). Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc \({{60}^{0}}\) và mặt phẳng (A’BC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Điểm H trên cạnh BC sao cho BC=3BH và mặt phẳng (A’AH) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng:
-
Gọi V là thể tích của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, \({V_1}\) là thể tích của tứ diện A’ABD. Hệ thức nào sau đây là đúng?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B , AD = 2a, AB = BC = a,SA vuông góc với đáy, SB tạo với đáy một góc 30o. Tính tỉ số thể tích \(\frac{{{V_{SABD}}}}{{{V_{SBCD}}}}?\)
-
Cho hình lập phương \(ABCD.ABCD\). Mặt phẳng (BDC’) chia khối lập phương thành 2 phần có tỉ lệ thể tích phần nhỏ so với phần lớn là :
