Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\), \(\Delta SAD\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa \(\left( SBC \right)\) và mặt đáy bằng \({{60}^{\text{o}}}\). Tính thể tích \(S.ABCD\) bằng:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi \(H\) là trung điểm AD.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\ \left( {SAD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD\\ SH \bot AD \end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
\(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\) nên\({{S}_{ABCD}}=A{{B}^{2}}=4{{a}^{2}}\).
Tam giác \(SBC\) cân tại \(S\) \(\Rightarrow SM\bot BC\), mà \(HM\bot BC\) \(\Rightarrow \) góc giữa mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) là góc giữa hai đường thẳng HM, \(SM\) chính là góc \(\widehat{SMH}\). Theo bài ra có \(\widehat{SMH}={{60}^{\text{o}}}\).
\(\Rightarrow SH=2a.\tan {{60}^{\text{o}}}=2a\sqrt{3}\).
Vậy thể tích \(S.ABCD\): \({{V}_{SABCD}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.2a\sqrt{3}.4{{a}^{2}}=\frac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}\).
