Cho hình chóp \(S.ABC\) có mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\), \(SAB\) là tam giác đều cạnh \(a\sqrt{3}\), \(BC=a\sqrt{3}\) đường thẳng \(SC\) tạo với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) góc \(60{}^\circ \). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Ta thấy tam giác ABC cân tại \(B\), gọi H là trung điểm của AB suy ra \(BH\bot AC.\)
Do \(\left( SAC \right)\bot \left( ABC \right)\) nên \(BH\bot \left( SAC \right)\).
Ta lại có \(BA=BC=BS\) nên \(B\) thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\)\(\Rightarrow H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(SAC\)\(\Rightarrow \(\(SA\bot SC\).
Do AC là hình chiếu của \(SC\) lên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\)\(\Rightarrow \)\(\widehat{SCA}={{60}^{0}}\).
Ta có \(SC=SA.\cot {{60}^{0}}=a, AC=\frac{SA}{\sin {{60}^{0}}}=2a\Rightarrow HC=a\Rightarrow BH=\sqrt{B{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}\).
\({{V}_{S.ABC}} =\frac{1}{3}BH.{{S}_{SAC}} =\frac{1}{6}BH.SA.SC =\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}\).
