Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của cạnh SC. Mặt phẳng (P) qua AK cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M, N. Gọi V, V’ lần lượt là thể tích các khối S.ABCD và S.AMKN. Tỉ số \(\frac{V'}{V}\) có giá trị nhỏ nhất là:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(x=\frac{SM}{SB};y=\frac{SN}{SD}\Rightarrow V'={{V}_{S.AMK}}+{{V}_{S.ANK}}=\frac{V}{4}\left( x+y \right)\begin{matrix} {} & \left( 1 \right) \\ \end{matrix}\)
Mặt khác \(V'={{V}_{S.AMN}}+{{V}_{S.MNK}}=\frac{3xy}{4}V\begin{matrix} {} & \left( 2 \right) \\ \end{matrix}\)
Từ (1) và (2) có:
\(~x\text{ }+\text{ }y\text{ }=\text{ }3xy\) \(\begin{align} & \Rightarrow y=\frac{x}{3x-1}\begin{matrix} , & \left( y>0\Rightarrow x>\frac{1}{3} \right) \\ \end{matrix},\,\,y=\frac{SN}{SD}\le 1\Rightarrow \frac{x}{3x-1}\le 1\Rightarrow x\ge \frac{1}{2}\Rightarrow \frac{1}{2}\le x\le 1 \\ & \frac{V'}{V}=\frac{3{{x}^{2}}}{4\left( 3x-1 \right)}\begin{matrix} , & \left( \frac{1}{2}\le x\le 1 \right) \\ \end{matrix} \\ \end{align}\)
Xét hàm số \(f\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}}{4\left( 3x-1 \right)}\begin{matrix} {} & \left( \frac{1}{2}\le x\le 1 \right) \\ \end{matrix}\)
F(x) đạt GTNN bằng \(\frac{1}{3}\)
