Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên \(SAB\) là tam giác đều, \(SC=SD=a\sqrt{3}.\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD.\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(I\) là trung điểm AB;J là trung điểm của \(CD\) từ giả thiết ta có:
\(IJ=a;SI=\frac{a\sqrt{3}}{3}\) và \(SJ=\sqrt{S{{C}^{2}}-J{{C}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{11}}{2}\)
.png)
Áp dụng định lý cosin cho tam giác \(S\text{IJ}\) ta có:
\(\cos \left( \widehat{S\text{IJ}} \right)=\frac{\text{I}{{\text{J}}^{2}}\text{+I}{{\text{S}}^{2}}-S{{J}^{2}}}{2.\text{IJ}\text{.IS}}=\frac{{{a}^{2}}+\frac{3{{a}^{2}}}{4}-\frac{11{{a}^{2}}}{4}}{2.a.\frac{a\sqrt{3}}{2}}=-\frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}<0\)
Suy ra, tam giác \(SIJ\) là tam giác có \(\widehat{S\text{IJ}}\) tù. Từ giả thiết tam giác \(SAB\) đều và tam giác \(SCD\) là cân đỉnh \(S.\) Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên \(\left( ABCD \right),\) ta có \(H\) thuộc \(\text{IJ}\) và \(I\) nằm giữa \(HJ\) tức là tam giác vuông \(SHI\) có \(\widehat{H}={{90}^{0}}.\)
Góc \(I\) nhọn và \(\cos \widehat{I}=c\text{os}\widehat{SIH}=-c\text{os}\widehat{S\text{IJ}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\left( \widehat{S\text{IJ}}\,\,va\,\,\widehat{SIH}\,\,ke\,\,\,bu \right)\Rightarrow \sin \widehat{SIH}=\frac{\sqrt{6}}{3}.\)
Xét tam giác SHI ta có \(SH=SI.\sin \widehat{SIH}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Vậy \({{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SH=\frac{1}{3}{{a}^{2}}.\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}.\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’, cạnh đáy bằng a. Gọi N, I lần lượt là trung điểm của AB, BC; góc giữa hai mặt phẳng (C’AI) và (ABC) bằng \({{60}^{o}}\). Tính theo a thể tích khối chóp NAC’I?
-
Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh AB. Góc giữa cạnh bên của lăng trụ và mặt đáy bằng 300. Tính thể tích của lăng trụ đã cho theo a.
-
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.
-
Cho hình chóp đều S. ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, đường chéo AC= a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, góc giữa (SCD) và mặt đáy bằng 450 Thể tích của khối chóp đã cho bằng
-
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng
-
Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có \(AD=60cm\). Ta gấp tấm nhôm theo 2 cạnh MN và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết 2 đáy. Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất?
.png)
-
Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có thể tích bằng 2110. Biết A'M = MA; DN = 3ND'D; CP = 2PC'. Mặt phẳng (MNP) chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằn
-
Cho khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Tính thể tích V của khối tứ diện AB’C’D theo a
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy mặt phẳng đáy và \(S C=a \sqrt{5}\). Thể tích của khối chóp đã cho bằng
-
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng a2 và khoảng cách giữa hai đáy bằng 3a. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, SA = CD = 3a, SA vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Thể tích khối chóp S.ABCD bằng.
-
Cho hình lăng trụ \(ABCD.ABCD\) có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng \(a\), tam giác A’AC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ \(ABCD.ABCD.\)
-
Cho khối hộp đứng có đáy là một hình thoi có độ dài đường chéo nhỏ bằng 10 và góc nhọn bằng 60o. Diện tích mỗi mặt bên của khối hộp bằng 10. Thể tích của khối hộp đã cho bằng
-
Đường chéo của một hình hộp chữ nhật bằng d, góc giữa đường chéo và mặt đáy là \(\alpha \), góc nhọn giữa hai đường chéo của đáy bằng \(\beta \). Thể tích của hình hộp đó là:
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(SA\bot \left( ABCD \right)\), \(SA=a\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SCD\). Tính thể tích khối chóp \(G.ABCD\).
-
Cho hình chóp S.ABC có tam giác SBC là tam giác vuông cân tại S, S B=2 a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 3a. Thể tích khối chóp đã cho bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 1. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của cạnh AB, góc giữa SC và mặt đáy bằng 300 Thể tích của khối chóp đã cho bằng
-
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính thể tích V của hình lập phương biết rằng khoảng cách từ trung điểm I của AB đến mặt phẳng \(\left( {A’B’CD} \right)\) bằng \(\frac{a}{{\sqrt 2 }}\)
-
Hình lập phương \(ABCD.ABCD\) có độ dài đường chéo bằng a. Khi đó thể tích khối tứ diện AA’B’C’ là.
