Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 3 \). Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Ta có SB = SD = 2a
Vì \(\Delta SCD = \Delta SCB{\rm{ (c}}{\rm{.c}}{\rm{.c)}}\) nên chân đường cao hạ từ B và D đến SC của hai tam giác đó trùng nhau và độ dài đường cao bằng nhau ⇒ BH = DH
Do đó \(\widehat {\left( {(SBC),(SCD)} \right)} = \widehat {DHB} = \varphi \)
Ta có
\(\begin{array}{l} OB = OD = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\\ \frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}} \Rightarrow BH = DH = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}a \end{array}\)
Lại có BH = DH và O là trung điểm BD nên \(HO \bot BD\) hay \(\Delta HOB\) vuông tại O
\(OH = \sqrt {B{H^2} - O{B^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{2\sqrt 5 a}}{5}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {30} }}{{10}}a\)
Ta có \(\sin \frac{\varphi }{2} = \frac{{OH}}{{BH}} = \frac{{\frac{{\sqrt {30} }}{{10}}}}{{\frac{{2\sqrt 5 }}{5}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{4};\sin \frac{\varphi }{2} = \frac{{OB}}{{BH}} = \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{2\sqrt 5 }}{5}}} = \frac{{\sqrt {10} }}{4}\)
