Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B′C′ và C′D′. Mặt phẳng (AEF) chia hình hộp đó thành hai hình đa diện (H) và (H′), trong đó (H) là hình đa diện chứa đỉnh A′. Tính tỉ số giữa thể tích hình đa diện (H) và thể tích hình đa diện (H′)

A. \(\frac{{15}}{{72}}V\)

B. \(\frac{{25}}{{72}}V\)

C. \(\frac{{45}}{{72}}V\)

D. \(\frac{{35}}{{72}}V\)

Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Môn: Toán Lớp 12

Chủ đề: Khối Đa Diện

Bài: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Lời giải:

Báo sai

Trong (A′B′C′D′), gọi I,J lần lượt là giao điểm của EF với A′B′ và A′D′.

Trong (ADD′A′), gọi M=AJ∩D′D.

Trong (ABB′A′), gọi L=AI∩BB'.

Khi đó thiết diện của hình hộp khi cắt bởi (AEF) là ngũ giác AMFEL.

Khi đó (H) là khối đa diện chứ đỉnh A′ và \( {V_{\left( H \right)}} = {V_{A.A'IJ}} - {V_{M.D'JF}} - {V_{L.B'IE}}\)

Gọi V₀ là thể tích khối tứ diện A.A′IJ. V là thể tích khối hộp ABCD.A′B′C′D′

Vì EB′=EC′ và B′I//C′F nên \( IB' = FC' = \frac{{A'B'}}{2}\)

Do đó \( \frac{{IB'}}{{IA'}} = \frac{1}{3}\)

Mà: \(\begin{array}{l} BE'//A'J,\:B'L//AA' \Rightarrow \frac{{IL}}{{IA}} = \frac{{IE}}{{IJ}} = \frac{{IB'}}{{IA'}} = \frac{1}{3}\\ \Rightarrow \frac{{{V_{I.ELB'}}}}{{{V_{I.JAA'}}}} = \frac{{IL}}{{IA}}.\frac{{IE}}{{IJ}}.\frac{{LE}}{{AJ}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} = \frac{1}{{27}} \end{array}\)

Do đó \( {V_{I.ELB'}} = \frac{1}{{27}}{V_0}\)

Tương tự \( {V_{J.MFD'}} = \frac{1}{{27}}{V_0}\)

Gọi A′B′=a,B′C′=b, đường cao hạ từ A xuống (A′B′C′D′) là h thì \( IA' = \frac{3}{2}A'B' = \frac{{3a}}{2};A'J = \frac{3}{2}A'D' = \frac{{3b}}{2}\) và

\(\begin{array}{l} V = {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{A'B'C'D'}}h = abh.\sin \widehat {B'A'D'}\\ {V_0} = \frac{1}{3}{S_{A'IJ}}.h = \frac{1}{3}.\left( {\frac{1}{2}.\frac{{3a}}{2}.\frac{{3b}}{2}\sin \widehat {B'A'D'}} \right)h = \frac{3}{8}abh.\sin \widehat {B'A'D'}\\ \Rightarrow \frac{{{V_0}}}{V} = \frac{3}{8} \Rightarrow {V_0} = \frac{{3V}}{8} \end{array}\)

Vậy: \( {V_{(H)}} = {V_0} - \frac{2}{{27}}{V_0} = \frac{{25}}{{27}}{V_0} = \frac{{25}}{{27}}.\frac{{3V}}{8} = \frac{{25}}{{72}}V\)