Cho một mặt cầu bán kính bằng 1. Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng là bao nhiêu?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi cạnh đáy của hình chóp là \(a\)
Ta có \(\Delta SIJ\sim\Delta SMH\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{SI}}{{SM}} = \frac{{IJ}}{{MH}}\\ \Rightarrow MH\left( {SH - IH} \right) = IJ\sqrt {S{H^2} - H{M^2}} \\ \Rightarrow M{H^2}{\left( {SH - 1} \right)^2} = S{H^2} - H{M^2}\\ \Rightarrow \left( {{a^2} - 12} \right)S{H^2} - 2{a^2}SH = 0\\ \Rightarrow SH = \frac{{2{a^2}}}{{{a^2} - 12}}\left( {{a^2} \ne 12} \right) \end{array}\)
\(S=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}.SH=\frac{\sqrt{3}}{6}\frac{2{{a}^{4}}}{{{a}^{2}}-12}=\frac{\sqrt{3}}{6}\frac{1}{\frac{1}{{{a}^{2}}}-\frac{12}{{{a}^{4}}}}\).
Ta có \(\frac{1}{{{a}^{2}}}-\frac{12}{{{a}^{4}}}\le \frac{1}{48}\) \(\Rightarrow S\ge 8\sqrt{3}\)
