Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=x^{3}-3 x^{2}+2 \text { đi qua } A(3 ; 2) ?\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Ta có: } y^{\prime}=3 x^{2}-6 x\)
Phương trình tiếp tuyến d với đồ thị hàm số tại \(M\left(x_{0} ; y_{0}\right)\) có dạng:
\(y=y^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+y_{0} \Leftrightarrow y=\left(3 x_{0}^{2}-6 x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+x_{0}^{3}-3 x_{0}^{2}+2\,\,(1)\)
Tiếp tuyến đi qua A nên ta được phương trình
\(\begin{array}{l} 2=\left(3 x_{0}^{2}-6 x_{0}\right)\left(3-x_{0}\right)+x_{0}^{3}-3 x_{0}^{2}+2 \\ \Leftrightarrow 2 x_{0}^{3}-12 x_{0}^{2}+18 x_{0}=0 \Leftrightarrow 2 x_{0}\left(x_{0}-3 x\right)^{2}=0 \end{array}\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x_{0}=0 \\ x_{0}=3 \end{array}\right.\)
\(x_{0}=0 \text { thay vào }(1) \text { ta đươc phương trình tiếp tuyến } d \text { , là } y=2 \text { . }\)
\(x_{0}=3 \text { thay vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến } d_{2} \text { là } y=9 x-25 \text { . }\)
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa yêu cầu bào toán.