Có tất cả bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng (-10;10) để hàm số \(y=\frac{1}{3} e^{3 x}+m e^{2 x}+(m-3) e^{x}+2020\) đồng biến trên khoảng \([0 ; \ln 2] ?\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Ta có: } y^{\prime}=e^{3 x}+2 m e^{2 x}+(m-3) e^{x}=e^{x}\left(e^{2 x}+2 m e^{x}+m-3\right) \text { . }\)
\(\begin{array}{l} \text { Để hàm số } y=\frac{1}{3} e^{3 x}+m e^{2 x}+(m-3) e^{x}+2020 \text { đồng biến trên khoảng }[0 ; \ln 2]\\ \Leftrightarrow y^{\prime} \geq 0 \forall x \in[0 ; \ln 2] \Leftrightarrow e^{2 x}+2 m e^{x}+m-3 \geq 0 \forall x \in[0 ; \ln 2]\\ \Leftrightarrow m \geq \frac{3-e^{2 x}}{2 e^{x}+1}=f(x) \forall x \in[0 ; \ln 2] \Leftrightarrow m \geq \max\limits _{[0, \ln 2]} f(x) \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \text { Đặt } t=e^{x} \text { . Vì } x \in[0 ; \ln 2] \Rightarrow t \in[1,2] \\ \text { Ta có: } f(x)=\frac{3-t^{2}}{2 t+1} \end{array}\)
\(\text { Xét } f^{\prime}(x)=\frac{-2 t(2 t+1)-2\left(3-t^{2}\right)}{(2 t+1)^{2}}=\frac{-2 t^{2}-2 t-6}{(2 t+1)^{2}}<0 \forall t \in[1 ; 2]\)
\(\text { hàm số } f(x) \text { nghịch biến }\text { trên đoạn }[1 ; 2]\)
\(\Rightarrow \max\limits _{[0 ; \ln 2]} f(x)=\max\limits _{[1 ; 2]} f(t)=f(1)=\frac{2}{3} \Rightarrow m \geq \frac{2}{3} .\)
\(\text { Vì } m \in Z, m \in(-10 ; 10) \Rightarrow \text { có } 9 \text { số nguyên } m \text { thỏa mãn }\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y=\frac{m \cot x+8}{2 \cot x+m}\)( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảg \(\left(\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{2}\right) ?\)
-
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số \(y=\frac{m}{3} x^{3}-2 m x^{2}+(3 m+6) x+2020\) đồng biến trên R ?
-
Cho hàm số \(y\; = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\;\left( 1 \right)\)
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=x^{3}+2 m x^{2}-x+2\) nghịch biến trên khoảng \(\left(\frac{1}{2} ; 5\right)\)
-
Hàm số \(y=-x^3+3x+5\) đồng biến trên khoảng nào sau đây
-
Cho hàm số \(y=x^{3}+3 x^{2}-m x-4\) . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty ; 0)\)
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y=\frac{x+2}{x+5 m}\) đồng biến trên khoảng \((-\infty ;-10)\)?
-
Cho hàm số \(y\; = \;{x^3}\; + \;3{x^2}\; - \;9x\; + \;15\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
-
Hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} + x - 1\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
-
Hàm số \(y = {x^3} - 5{x^2} + 5\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
-
Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số \(y = {2^{{x^3} – {x^2} + mx + 1}}\) đồng biến trên \(\left( {1;2} \right)\).
-
Cho hàm số \(y = \frac{{(4 – m)\sqrt {6 – x} + 3}}{{\sqrt {6 – x} + m}}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trong khoảng \(\left( { – 10;10} \right)\) sao cho hàm số đồng biến trên \(\left( { – 8;5} \right)\)?
-
Hàm số \(y = - \frac{2}{3}{x^3} + 3{x^2} - x + 1\) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
-
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình sau.
Tìm m để phương trình \(f\left(\mathrm{e}^{x^{2}}\right)=m^{2}+5 m\) có hai nghiệm thực phân biệt. -
Hỏi hàm số \(y\; = \;\frac{{{x^3}}}{3}\; - \;3{x^2}\; + \;5x\; - \;2\) nghịch biến trên khoảng nào?
-
Tìm tham số m để hàm số \(y=\frac{\sin x+4}{\sin x+m}\) nghịch biến trên khoảng \(\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)\)?
-
Cho hàm số \(y = \frac{{3 - x}}{{x + 1}}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho hàm số \(f(x)=\frac{m+2}{3} x^{3}-(m+2) x^{2}-(3 m-1) x+2.0\) . Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
-
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) . Đồ thị hàm số y=f'(x) như hình vẽ
Hàm số \(g(x)=f(-2 x+1)+(x+1)(-2 x+4)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây -
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích S, hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
