Quay hình phẳng Q giới hạn bởi các đường y1=sinx và \( {y_2} = \frac{{2x}}{\pi }\) quanh trục Ox, ta được một khối tròn xoay. Khi đó thể tích của khối tròn xoay này bằng
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\sin x = \frac{{2x}}{\pi } \to \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \frac{\pi }{2}\\ x = - \frac{\pi }{2} \end{array} \right.\)
Khi đó
\( V = \pi \mathop \smallint \limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} \left| {{{\sin }^2}x - {{\left( {\frac{{2x}}{\pi }} \right)}^2}} \right|dx\)
Dễ thấy \( f\left( x \right) = \left| {{{\sin }^2}x - {{\left( {\frac{{2x}}{\pi }} \right)}^2}} \right|\) là hàm số chẵn nên:
\(\begin{array}{l} V = 2\pi \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left| {{{\sin }^2}x - {{\left( {\frac{{2x}}{\pi }} \right)}^2}} \right|dx = 2\pi \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {{{\sin }^2}x - {{\left( {\frac{{2x}}{\pi }} \right)}^2}} \right)dx\\ = 2\pi \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin ^2}xdx - \frac{8}{\pi }\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x^2}dx = \pi \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {1 - \cos 2x} \right)dx - \frac{8}{\pi }\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x^2}dx\\ = \pi \left( {x - \frac{{\sin 2x}}{2}} \right)_{\left| 0 \right.}^{\left| {\frac{\pi }{2}} \right.} - \frac{8}{\pi }.\frac{{{x^3}}}{3}_{\left| 0 \right.}^{\left| {\frac{\pi }{2}} \right.}\\ = \pi \left( {\frac{\pi }{2} - 0} \right) - \frac{8}{\pi }.\frac{1}{3}.{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^3}\\ = \frac{{{\pi ^2}}}{2} - \frac{{{\pi ^2}}}{3} = \frac{{{\pi ^2}}}{6} \end{array}\)
Câu hỏi liên quan
-
Hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị \(y=\sqrt{4-\frac{x^{2}}{4}}, y=\frac{x^{2}}{4 \sqrt{2}}\) (hình vẽ bên dưới). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng \(x = -1\) và \(x = 1\), biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x( - 1 \le x \le 1)\) là một hình vuông cạnh là \(2\sqrt {1 - {x^2}} \).
-
Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật \(v(t)=\frac{1}{150} t^{2}+\frac{59}{75} t(\mathrm{~m} / \mathrm{s})\) trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng \(a\left(\mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right)\) (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 12 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kip A bằng:
-
Tại một noiw không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật \(v(t)=10 t-t^{2}\), trong đó t ( phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v(t) được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là?
-
Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ t=0(s) chuyển động thẳng với vận tốc \(v_{t}=t(5-t)(\mathrm{m} / \mathrm{s})\) . Tính quãng đường vật đi được cho tới khi nó dừng lại.
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = {x^2} + 1\) và \(y = 3 – x\).
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: \(\displaystyle y = \frac{1}{{1 + {x^2}}},y = \frac{1}{2}\)
-
Một xe lửa chuyển động chậm dần đều và dừng hẳn sau 20 giây kể từ khi bắt đầu hãm phanh. Trong thời gian đó xe chạy được 120m . Cho biết công thức vận tốc của chuyển động biến đổi đều là \(v(t)=v_{0}+a t(\mathrm{~m} / \mathrm{s})\) , trong đó \(a\left(\mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right)\) là gia tốc và v(m/s) là vận tốc tại thời điểm t(s ) . Hãy tính vận tốc v0 lúc bắt đầu hãm phanh
-
Một vật từ trạng thái nghỉ t=0(s) chuyển động thẳng với vân tốc \(v(t)=t(6-t)(m / s)\) . Tính quãng đường vật đi được cho đến khi nó dừng lại.
-
Con cá bơi có phương trình quãng đường \(s(t)=-\frac{1}{10} t^{2}+4 t(\mathrm{~km})\), t tính bằng giờ. Biết con cá bơi xuôi dòng nước với tốc độ dòng chảy là 2 / km h . Tính khoảng cách xa nhất con cá bơi được?
-
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x, x = - 3, x = - 2. và trục hoành được tính bằng công thức nào dưới đây?
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\left|x^{2}-4 x+3\right|, y=x+3 \text { là } S=\frac{a}{b}, (a ; b \in \mathbb{Z} ; a \neq 0) ; \frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = \sqrt x ,y = 6 - x\) và trục hoành.
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x^{2}-2 x+1, y=-x+1, x=0, x=m,(m<0)\) bằng \(\frac{5}{6}\). Khi đó giá trị m bằng:
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: \(y = {x^2} - 3x + 2\) và \(y=x-1\).
-
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=1-\frac{1}{x^{2}}\), trục Ox và hai đường thẳng \(x=\frac{1}{2}, x=2\) có diện tích là
-
Khối tròn xoay do hình giới hạn bởi các đường \(y=f(x), y=0, x=a, x=b,(a<b)\) quay quanh trục Ox có thể tích là V1 . Khối tròn xoay do hình giới hạn bởi các đường \(y=-3 f(x), y=0, x=a, x=b,(a<b)\)quay quanh trục Ox có thể tích là V2 . Chọn phương án đúng.
-
Cho hình phẳng ( H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=x(2-x)\) và trục Ox . Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: \(\displaystyle x + y = 1;x + y = - 1;\) \(\displaystyle x - y = 1;x - y = - 1\)
-
Cho hình phẳng \(A\) giới hạn bởi các đường \(y = 0, x = 4\), và \(y = \sqrt x - 1\). Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình \(A\) quanh trục hoành.
