Số họ nghiệm của phương trình \(\sin \left( {{\pi \over 2} + 2x} \right)\cot 3x + \sin \left( {\pi + 2x} \right) \)\(- \sqrt 2 \cos 5x = 0\) là:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện \(\sin 3x \ne 0\).
\(\sin \left( {{\pi \over 2} + 2x} \right)\cot 3x + \sin \left( {\pi + 2x} \right) \)\(- \sqrt 2 \cos 5x = 0\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \sin \left( {{\pi \over 2} + 2x} \right)\cot 3x + \sin \left( {\pi + 2x} \right) - \sqrt 2 \cos 5x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos 2x{{\cos 3x} \over {\sin 3x}} - \sin 2x - \sqrt 2 \cos 5x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos 2x\cos 3x - \sin 2x\sin 3x - \sqrt 2 \sin 3x\cos 5x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos 5x\left( {1 - \sqrt 2 \sin 3x} \right) = 0 \cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 5x = 0\\
\sin 3x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
5x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
3x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
3x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k\pi }}{5}\\
x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k2\pi }}{3}\\
x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k2\pi }}{3}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(x = {\pi \over {10}} + {{k\pi } \over 5},x = {\pi \over {12}} + {{2k\pi } \over 3},\)\(x = {\pi \over 4} + {{2k\pi } \over 3}\).