Số nghiệm của phương trình \(\cos 2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+4 \cos \left(\frac{\pi}{6}-x\right)=\frac{5}{2} \text { thuộc }[0 ; 2 \pi]\) là?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(\cos 2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=1-2 \sin ^{2}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=1-2 \cos ^{2}\left(\frac{\pi}{6}-x\right)\)
Khi đó
\(PT\Leftrightarrow-2 \cos ^{2}\left(\frac{\pi}{6}-x\right)+4 \cos \left(\frac{\pi}{6}-x\right)-\frac{3}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} \cos \left(\frac{\pi}{6}-x\right)=\frac{1}{2} \\ \cos \left(\frac{\pi}{6}-x\right)=\frac{3}{2}(\operatorname{loại}) \end{array} \Leftrightarrow \cos \left(\frac{\pi}{6}-x\right)=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{\pi}{6}-x=\pm \frac{\pi}{3}+k 2 \pi \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c} x=-\frac{\pi}{6}+k 2 \pi \\ x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi \end{array}, k \in \mathbb{Z}\right.\right.\)
ta có
\(x=-\frac{\pi}{6}+k 2 \pi\) mà \(x \in[0 ; 2 \pi]\) nên \(x=\frac{11 \pi}{6}\)
\(x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi\Rightarrow x= \frac{ \pi}{2}\)
Vậy có hai nghiệm thỏa mãn.