Tam giác ABC thỏa điều kiện nào thì tam giác ABC là tam giác vuông?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\(\begin{aligned} & \frac{\cos B}{\cos C}+\frac{\cos C}{\cos B}=\frac{a^{2}}{b c} \\ \Leftrightarrow & \frac{\cos ^{2} B+\cos ^{2} C}{\cos B \cos C}=\frac{a^{2}}{b c} \\ \Leftrightarrow & \frac{\cos ^{2} B+\cos ^{2} C}{\cos B \cos C}=\frac{\sin ^{2} A}{\sin B \sin C}(1) \end{aligned}\)
Chỉ có hai khả năng xảy ra:
a) nếu \(A=\frac{\pi}{2}\) , khi đó (1) đúng (do cos C = sin B, cos B = sin C).
b) nếu \(A \neq \frac{\pi}{2}\) . Từ (1) theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
\(\begin{aligned} \frac{\cos ^{2} B+\cos ^{2} C}{\cos B \cos C} &=\frac{\cos ^{2} B+\cos ^{2} C-\sin ^{2} A}{\cos B \cos C-\sin B \sin C} \\ &=\frac{\cos ^{2} B+\cos ^{2} C+\cos ^{2} A-1}{\cos (B+C)} \\ &=\frac{1-2 \cos A \cos B \cos C-1}{-\cos A}=2 \cos B \cos C . \end{aligned}\)
Suy ra \(A=\frac{\pi}{2}\) nên tam giác ABC vuông tại A.
\(\begin{aligned} & \cos ^{2} B+\cos ^{2} C=2 \cos ^{2} B \cos ^{2} C \\ \Rightarrow & \cos ^{2} B\left(1-\cos ^{2} C\right)+\cos ^{2} C\left(1-\cos ^{2} B\right)=0 \\ \Rightarrow & \cos ^{2} B \sin ^{2} C+\cos ^{2} C \sin ^{2} B=0 \\ \Rightarrow &\left\{\begin{array} { l } { \operatorname { c o s } B \operatorname { s i n } C = 0 } \\ { \operatorname { c o s } C \operatorname { s i n } B = 0 } \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} \cos B=0 \\ \cos C=0 \end{array}\right.\right. \end{aligned}(2)\)
\(\text { Từ (2) suy ra } B=C=\frac{\pi}{2} \text { vô lý. Vậy giả thiết } A \neq \frac{\pi}{2} \text { là sai }\)
vậy
Câu hỏi liên quan
-
\(\text{Cho }\overrightarrow a = \left( {3 + x;4y} \right);\overrightarrow b \left( {1;3} \right).\text{Tìm giá trị của x, y sao cho }\overrightarrow a = \overrightarrow b.\)
-
\(\text{Tam giác ABC có }A B=5: B C= 7 ; C A=9. \text{ Tính nửa chu vi của tam giác ABC.}\)
-
Tam giác ABC có \(A B C \text { со } A=60^{\circ}, A C=10, A B=6\). Tính cạnh BC
-
\(\text { Cho } \triangle A B C \text { thỏa mãn: } \frac{c}{b \sin A}=2 \tan A \text { . }\)Tam giác ABC là tam giác gi?
-
\(\text { Cho } \cos \alpha=-\frac{1}{3} \text { . Tính } \tan \alpha,0^{\circ}<\alpha<180^{\circ}\)
-
\(\text{Tam giác ABC có }A B=11 ; B C= 8; C A=15. \text{ Tính số đo của } \hat{C}\)
-
\(\text { Cho } \tan x=2 \text { . Tính }\sin \alpha \text { biết } 0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}\)
-
\(\text{Cho vectơ }\overrightarrow a = \left( {6;2} \right);\overrightarrow b =\left( {2 - m;1} \right).\text{ Tìm m để }\overrightarrow a \bot \overrightarrow b .\)
-
Cho tam giác ABC có \(a = 12,b = 16,c = 20\). Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác.
-
\(\text{Tam giác ABC có }A B=9 ; B C= 5; C A=6. \text{ Tính số đo của } \hat{B}\)
-
\(\text{Cho }\overrightarrow a = \left( {3 + \frac{1}{2}x;7 - y} \right);\overrightarrow b \left( {\frac{1}{2};4} \right).\text{Tìm giá trị của x, y sao cho }\overrightarrow a = \overrightarrow b.\)
-
Trong hình vẽ dưới đây, tính 2 . ED FG , ta được :
-
Tam giác ABC cân tại C , có \(A B=9 \mathrm{cm} \text { và } A C=\frac{15}{2} \mathrm{cm}\). Gọi D là điểm đối xứng của B qua C . Tính độ dài cạnh AD.
-
\(\text{Cho vectơ }\overrightarrow a = \left( {2;3} \right);\overrightarrow b =\left( {4 - m;1} \right).\text{ Tìm m để }\overrightarrow a \bot \overrightarrow b .\)
-
Cho biết \(2 \cos \alpha+\sqrt{2} \sin \alpha=2,0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}\) Tính giá trị của \(\cot \alpha\)
-
\(\text { Cho } f(x)=\sin ^{6} x+\frac{3}{4} \sin ^{2} 2 x+\cos ^{6} x . \text { Tính } f\left(\frac{\pi}{2017}\right) \text { . }\)
-
\(\text{Cho vectơ }\overrightarrow a = \left( {m - 3;m + 1} \right);\overrightarrow b =\left( {4;1} \right).\text{ Tìm m để }\overrightarrow a \bot \overrightarrow b .\)
-
\(\text { Cho hình chữ nhật } A B C D \text { có } A B=8, A D=5 \text {. Tích } \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B D} \text {. }\)
-
\(\text{Cho }\overrightarrow a = \left( {3x + 1;4 + y} \right);\overrightarrow b \left( {1; - 2} \right).\text{Tìm giá trị của x, y sao cho }\overrightarrow a = \overrightarrow b.\)
-
\(\text{Tam giác ABC có }A B=9 ; B C= 5; C A=6. \text{ Tính độ dài đường cao CF?}\)
