Tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2 x-\sin x}{2-2 \cos x} d x\) có giá trị là:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(I=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2 x-\sin x}{2-2 \cos x} d x=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{1-\cos x} d x-\frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1-\cos x} d x\)
Xét \(I_{1}=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{1-\cos x} d x=\frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{\sin ^{2} \frac{x}{2}} d x\)
Đặt \(\left\{\begin{array}{l} u=x \\ d v=\frac{1}{\sin ^{2} \frac{x}{2}} d x \end{array}\right. \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} d u=d x \\ v=-2 \cot \frac{x}{2} \end{array}\right.\)
\(\Rightarrow I_{1}=\frac{1}{2}\left[\left.\left(-2 x \cdot \cot \frac{x}{2}\right)\right|_{\frac{\pi}{3}} ^{\frac{\pi}{2}}+2 \int\limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cot \frac{x}{2} d x\right]=\frac{1}{2}\left[-\pi+\frac{2 \pi \sqrt{3}}{3}+4 \ln \sqrt{2}\right]\)
Xét \(I_{2}=\frac{1}{2} \int\limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1-\cos x} d x\)
Đặt \(t=1-\cos x \Rightarrow d t=\sin x d x\)
Đổi cận \(\left\{\begin{array}{l} x=\frac{\pi}{3} \Rightarrow t=\frac{1}{2} \\ x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow t=1 \end{array}\right.\)
\(\Rightarrow I_{2}=\frac{1}{2} \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{1}{t} d t=\left.\frac{1}{2}(\ln |t|)\right|_{\frac{1}{2}} ^{1}=\frac{1}{2} \ln 2\)
\(I=I_{1}-I_{2}=\frac{1}{2}\left(-\pi+\frac{2 \pi \sqrt{3}}{3}+4 \ln \sqrt{2}-\ln 2\right)\)
Câu hỏi liên quan
-
Biết rằng \(\smallint {e^{2x}}\cos 3xdx = {e^{2x}}\left( {a\cos 3x + b\sin 3x} \right) + c\) trong đó a, b, c là các hằng số, khi đó tổng a + b có giá trị là
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ex; y = 1 và x = 1 là
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 1, y = x và đồ thị hàm số \(y\; = \;\frac{{{x^2}}}{4}\) trong miền x ≥ 0, y ≤ 1 là a/b. Khi đó b - a bằng
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y=x \ln x\), trục hoành và đường thẳng x=e là
-
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Hình phẳng được đánh dấu trong hình vẽ bên có diện tích là:
-
Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là
-
Cho parabol (P) có đồ thị như hình vẽ:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) với trục hoành.
-
Tính \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamysaiabg2 % da9maapehabaWaaSaaaeaacaWG4bWaaWbaaSqabeaacaaIYaGaaGim % aiaaigdacaaI4aaaaaGcbaGaaeyzamaaCaaaleqabaGaamiEaaaaki % abgUcaRiaaigdaaaGaaeizaiaadIhaaSqaaiabgkHiTiaaikdaaeaa % caaIYaaaniabgUIiYdaaaa!466A! I = \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{{x^{2018}}}}{{{{\rm{e}}^x} + 1}}{\rm{d}}x} \)
-
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {2{e^x}dx} \)
-
Tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \sin \;xdx\) bằng:
-
Nếu \(\int\limits_0^m {\left( {2x – 1} \right){\rm{d}}x} = 2\) thì m có giá trị bằng
-
Cho hàm số f liên tục trên \(\mathbb{R}\) và hai số thực a<b . Nếu \(\int_{a}^{b} f(x) d x=\alpha\) thì tích phân \(\int\limits_{a / 2}^{b / 2} f(2 x) d x\) có giá trị bằng
-
Tính \(\displaystyle \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{{e^x}}}{{{e^{2x}} - 1}}dx} \)
-
Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox đồ thị hàm số : \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2}\) và các đường y = 0, x = 0, x = 3.
-
Cho hình thang cong (H ) giới hạn bởi các đường\(y=\ln (x+1)\) , trục hoành và đường thẳng x=e-1. Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình (H ) quanh trục Ox
-
Tính: \(\displaystyle \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {4 + 5\ln x} }}{x}} dx\)
-
Cho hàm số y = f( x) = ax4+ bx2+ c (a > 0) có đồ thị (C), đồ thị hàm số y = f’(x). Đồ thị hàm số y = f( x) tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành?
-
Giá trị của tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x\) là
-
Tính tích phân \(I=\int_{1}^{20018} \frac{\mathrm{d} x}{x}\)
-
Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{x}\)và các đường thẳng y = 0, x =1, x = 4 . Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng (H ) quay quanh trục Ox .
