Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm \(N\left( {2; - \frac{5}{3}} \right)\) và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng \(\frac23\).
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi phương trình chính tắc của Elip là \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\) với a > b > 0
Elip đi qua điểm \(N\left( {2; - \frac{5}{3}} \right)\) suy ra \(\frac{{{2^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{\left( { - \frac{5}{3}} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{4}{{{a^2}}} + \frac{{25}}{{9{b^2}}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\)
Tỉ số của tiêu cực với độ dài trục lớn bằng \(\frac{2}{3}\) suy ra \(\frac{{2c}}{{2a}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{c}{a} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow {c^2} = \frac{4}{9}{a^2}.\)
Kết hợp với điều kiện \({b^2} = {a^2} - {c^2},\) ta được \({b^2} = {a^2} - \frac{4}{9}{a^2} = \frac{5}{9}{a^2} \Leftrightarrow 9{b^2} = 5{a^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right).\)
Từ (1) và (2) suy ra
\(\left\{ \begin{array}{l} \frac{4}{{{a^2}}} + \frac{{25}}{{9{b^2}}} = 1\\ 9{b^2} = 5{a^2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{4}{{{a^2}}} + \frac{{25}}{{5{a^2}}} = 1\\ 9{b^2} = 5{a^2} \end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{9}{{{a^2}}} = 1\\ 9{b^2} = 5{a^2} \end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} = 9\\ {b^2} = 5 \end{array} \right..\)
Vậy phương trình cần tìm là \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1.\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho elip (E) có hai tiêu điểm là F1, F2 và có độ dài trục lớn bằng 2a. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
-
Cho đường tròn có phương trình \(x^{2}+y^{2}+5 x-4 y+4=0\) . Bán kính của đường tròn là:
-
Elip qua điểm \(M\left( {2;\frac{5}{3}} \right)\) và có một tiêu điểm F(-2;0). Phương trình chính tắc của elip là:
-
Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó có tiêu cự bằng 6 và trục lớn bằng 10?
-
Phương trình chính tắc của elip có hai tiêu điểm \({F_1}\left( { - \,2;0} \right),\,\,{F_2}\left( {2;0} \right)\) và đi qua điểm là:
-
Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết trục lớn 2a=8, trục bé 2b=6.
-
Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn \(\left(C_{1}\right): x^{2}+y^{2}=4\) và \(\left(C_{2}\right):(x+10)^{2}+(y-16)^{2}=1\)
-
Cặp điểm nào là các tiêu điểm của elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{5} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)?
-
Tọa độ các tiêu điểm của đường conic \(\;({C_3}):\;x = \frac{1}{8}{y^2}\) và là:
-
Elip đi qua các điểm A(0;1) và \(N\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) có phương trình chính tắc là:
-
Phương trình chính tắc của hypebol thỏa mãn độ dài trục thực 8, độ dài trục ảo 6
-
Cho (P) : y2 = 8x. Tìm toạ độ điểm M thuộc parabol (P), biết khoảng cách từ M đến tiêu điểm bằng 6?
-
Đường elip \(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1\) có tiêu cự bằng
-
Đường Elip \(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1\)có tiêu cự bằng:
-
Phương trình chính tắc của các đường conic (C1): 4x2 + 16y2 = 1
-
Lập phương trình chính tắc của elip, biết elip đi qua hai điểm A(7;0) và B(3;0).
-
Một nhà vòm chứa máy bay có mặt cắt hình nửa elip cao 8m, rộng 20m (Hình 16). Chọn hệ tọa độ thích hợp. Phương trình của elip nói trên là:
.png)
-
Phương trình của elip (E) có độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng 6 là:
-
Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết một đỉnh là (0;-2) và một tiêu điểm là (-1;0).
-
Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm \(F\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\),đường thẳng \(\Delta :{\rm{ }}y{\rm{ }} + \frac{1}{2} = 0\) và điểm M(x; y). Hệ thức giữa x và y là:
