Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để có đúng 4 số phứcz thỏa mãn đồng thời các điều kiện \(\left| {z + \overline z } \right| + \left| {z – \overline z } \right| = \left| {{z^2}} \right|\) và \(\left| z \right| = m\)?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.jpg.png)
Đặt \(z = x + yi\,\left( {x,\,y \in R} \right)\)
\(\left\{ \begin{array}{l}\left| {z + \overline z } \right| + \left| {z – \overline z } \right| = \left| {{z^2}} \right|\\\left| z \right| = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {4{x^2}} + \sqrt {4{y^2}} = {x^2} + {y^2}\\\sqrt {{x^2} + {y^2}} = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} – 2\left| x \right| – 2\left| y \right| = 0\,\left( 1 \right)\\{x^2} + {y^2} – {m^2} = 0\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\,\)
Điều kiện \(\left( 1 \right)\) cho ta bốn đường tròn:
+ \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {1\,;\,1} \right)\) và bán kính \({R_1} = \sqrt 2 \)
+ \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( { – 1\,;\,1} \right)\) và bán kính \({R_2} = \sqrt 2 \).
+ \(\left( {{C_3}} \right)\) có tâm \({I_3}\left( {1\,;\, – 1} \right)\) và bán kính \({R_3} = \sqrt 2 \).
+ \(\left( {{C_4}} \right)\) có tâm \({I_4}\left( { – 1\,;\, – 1} \right)\) và bán kính \({R_4} = \sqrt 2 \).
Điều kiện \(\left( 2 \right)\) là đường tròn \(\left( C \right)\) tâm O và bán kính \(R = \left| m \right|\).
Dựa vào đồ thị, ta thấy điều kiện để có đúng 4 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường tròn \(\left( C \right)\) tiếp xúc với 4 đường tròn \(\left( {{C_1}} \right), \left( {{C_2}} \right), \left( {{C_3}} \right), \left( {{C_4}} \right)\) tại \(D,\,A,\,B,\,C\) hoặc đi qua các giao điểm \(E,\,F,\,G,\,H\) của bốn đường tròn đó.
Suy ra \(m = 2\sqrt 2 \) hoặc m = 2.
