Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: \(\displaystyle y = {x^3} - 1\) và tiếp tuyến với \(\displaystyle y = {x^3} - 1\) tại điểm \(\displaystyle \left( { - 1; - 2} \right)\).
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét \(\displaystyle y = g\left( x \right) = {x^3} - 1\) có \(\displaystyle g'\left( x \right) = 3{x^2}\)\(\displaystyle \Rightarrow g'\left( { - 1} \right) = 3\).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(\displaystyle y = g\left( x \right)\) tại điểm \(\displaystyle \left( { - 1; - 2} \right)\) là:
\(\displaystyle y = 3\left( {x + 1} \right) - 2\) hay \(\displaystyle y = 3x + 1\).
Xét phương trình \(\displaystyle {x^3} - 1 = 3x + 1 \Leftrightarrow {x^3} - 3x - 2 = 0\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right){\left( {x + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\)
Diện tích: \(\displaystyle S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^3} - 3x - 2} \right|dx} \) \(\displaystyle = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - {x^3} + 3x + 2} \right)dx} \) \(\displaystyle = \left. {\left( { - \dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{3}{2}{x^2} + 2x} \right)} \right|_{ - 1}^2\) \(\displaystyle = - 4 + 6 + 4 + \dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{2} + 2 = \dfrac{{27}}{4}\).
Vậy \(\displaystyle S = \dfrac{{27}}{4}\).
Câu hỏi liên quan
-
Một vật chuyển động với phương trình vận tốc là \(v(t)=t^{3}-9 t^{2}+24 t-16(\mathrm{~m} / \mathrm{s})\) . Hỏi từ lúc t = 0 đến khi vật có gia tốc nhỏ nhất thì vật đã đi được quãng đường bao nhiêu?
-
Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình vẽ bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I (2;9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn hàng phần trăm):
-
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2x + 4\) , trục hoành , các đường thẳng x = - 2;x = 0
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = \sqrt x \) và \(y = \root 3 \of x \)
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: \(\displaystyle y = 2x - {x^2},x + y = 2\)
-
Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục tung một hình phẳng giới hạn bởi hình tròn tâm I(2;0) bán kính R = 1 là:
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = {x^2}\) và \(y = - {x^2} - 2x\)
-
Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt{x}\) và y=x quanh trục Ox bằng
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {x^2},y = 4x - 4\) và \(y = -4x – 4\).
-
Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m . Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1m2 . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).
-
Quay hình phẳng (H) như hình được tô đậm trong hình vẽ bên quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là
-
Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y=f(x), y=g(x)\) và hai đường thẳng \(x=a, x=b\) , như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Quay hình phẳng GG giới hạn bởi các đường y=x3,y=1,x=0 xung quanh trục Oy. Khi đó thể tích của khối tròn xoay này bằng
-
Sân trường THPT Chuyên Hà Giang có một bồn hoa hình tròn có tâm O. Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường Parabol có cùng đỉnh O và đối xứng nhau qua O. Hai đường Parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4m (như hình vẽ). Phần diện tích (S1,S3 ) dùng để trồng hoa, phần diện tích (S2,S4 ) dùng để trồng cỏ (Diện tích được làm tròn đến hàng phần trăm). Biết kinh phí trồng hoa là (150.000 ) đồng/ (m2 ), kinh phí trồng cỏ là (100.000 ) đồng/ (m2 ). Hỏi cả trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn).
-
Quay hình phẳng ( H) như hình được tô đậm trong hình vẽ bên quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là
-
Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x=g(y)\), trục tung và hai đường thẳng \(y=a, y=b\) , như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=x^{3}\) , trục Ox và đường thẳng x =-2 có diện tích là
-
Thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y=2 x-x^{2}, y=x\) , quanh trục Ox là
-
Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn \(x^2+y^2=16\) (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là hình vuông. Thể tích của vật thể là
.PNG)
-
Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = (x - 1)e^x\), trục hoành, đường thẳng x = 0 và x = 1
