Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng xác định bởi \(\displaystyle y = {x^{\frac{2}{3}}},x = 0\) và tiếp tuyến với đường \(\displaystyle y = {x^{\frac{2}{3}}}\) tại điểm có hoành độ \(\displaystyle x = 1\), quanh trục \(\displaystyle Oy\)

A. \frac{\pi }{{35}}\)

B. \(\frac{\pi }{{36}}\)

C. \frac{\pi }{{37}}\)

D. \frac{\pi }{{38}}\)

Sai B là đáp án đúng Xem lời giải

Chính xác Xem lời giải

Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

ADSENSE

Môn: Toán Lớp 12

Chủ đề: Nguyên Hàm - Tích Phân Và Ứng Dụng

Bài: Ứng dụng của tích phân trong hình học

Lời giải:

Báo sai

Ta có: \(\displaystyle y' = \frac{2}{3}{x^{ - \frac{1}{3}}}\).

Với \(\displaystyle x = 1\) thì \(\displaystyle y = 1\) và \(\displaystyle y'\left( 1 \right) = \frac{2}{3}\). Tiếp tuyến \(\displaystyle y = \frac{2}{3}\left( {x - 1} \right) + 1 = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}\)

Có \(\displaystyle y = {x^{\frac{2}{3}}} \Rightarrow x = {y^{\frac{3}{2}}}\) và \(\displaystyle y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{3}{2}y - \frac{1}{2}\)

Khi đó \(\displaystyle {y^{\frac{3}{2}}} = \frac{3}{2}y - \frac{1}{2} \Rightarrow y = 1\). Ta có: \(\displaystyle \frac{3}{2}y - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow y = \frac{1}{3}\)

\(\displaystyle V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{y^{\frac{3}{2}}}} \right)}^2}dy} - \pi \int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {{{\left( {\frac{3}{2}y - \frac{1}{2}} \right)}^2}dy} \)\(\displaystyle = \pi \int\limits_0^1 {{y^3}dy} - \pi \int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {{{\left( {\frac{3}{2}y - \frac{1}{2}} \right)}^2}dy} \)

\(\displaystyle = \pi .\left. {\frac{{{y^4}}}{4}} \right|_0^1 - \pi \int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {\left( {\frac{9}{4}{y^2} - \frac{3}{2}y + \frac{1}{4}} \right)dy} \) \(\displaystyle = \frac{\pi }{4} - \pi .\left. {\left( {\frac{3}{4}{y^3} - \frac{3}{4}{y^3} + \frac{1}{4}y} \right)} \right|_{\frac{1}{3}}^1\) \(\displaystyle = \frac{\pi }{4} - \frac{{2\pi }}{9} = \frac{\pi }{{36}}\)

ADMICRO

YOMEDIA

Câu hỏi liên quan

Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục \(\displaystyle Ox\) hình phẳng giới hạn bởi các đường \(\displaystyle y = \frac{1}{x}\), \(\displaystyle y = 0,x = 1\) và \(\displaystyle x = a\left( {a > 1} \right)\).
Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ t=0(s) chuyển động thẳng với vận tốc \(v_{t}=t(5-t)(\mathrm{m} / \mathrm{s})\) . Tính quãng đường vật đi được cho tới khi nó dừng lại.
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn ( a;b )và \(f(x)>0, \forall x \in (a;b )\). Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và 2 đường thẳng x=a, x=b ,(a<b). Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay D quanh Ox được tính theo công thức:

ZUNIA12

Cho hình phẳng \(\displaystyle R\) giới hạn bởi các đường sau đây: \(\displaystyle {y_1} = {f_1}\left( x \right).{y_2} = {f_2}\left( x \right)\) (\(\displaystyle {f_1},{f_2}\) là các hàm số liên tục trên đoạn \(\displaystyle \left[ {a;b} \right]\)), \(\displaystyle x = a\) và \(\displaystyle x = b\). Hãy chỉ ra công thức sai trong việc tính diện tích hình \(\displaystyle R\).
Quay hình phẳng ( H) như hình được tô đậm trong hình vẽ bên quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là
Quay hình phẳng Q giới hạn bởi các đường \( {y_2} = \frac{{2x}}{\pi };{y_1} = \sin x\) quanh trục Ox, ta được một khối tròn xoay. Khi đó thể tích của khối tròn xoay này bằng
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: \(\displaystyle y = 2x - {x^2},x + y = 2\)
Một đám vi khuẩn tại ngày thứ x có số lượng là N(x). Biết rằng N'(x) = \(\frac{{2000}}{{1 + x}}\) và lúc đầu số lượng vi khuẩn là 5000 con. Vậy ngày thứ 12 số lượng vi khuẩn (sau khi làm tròn) là bao nhiêu con?
Một xe lửa chuyển động chậm dần đều và dừng hẳn sau 20 giây kể từ khi bắt đầu hãm phanh. Trong thời gian đó xe chạy được 120m . Cho biết công thức vận tốc của chuyển động biến đổi đều là \(v(t)=v_{0}+a t(\mathrm{~m} / \mathrm{s})\) , trong đó \(a\left(\mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right)\) là gia tốc và v(m/s) là vận tốc tại thời điểm t(s ) . Hãy tính vận tốc v₀ lúc bắt đầu hãm phanh
Tính thể tích vật thể có đáy là một tam giác cho bởi: \(\displaystyle y = x,y = 0\), và \(\displaystyle x = 1\). Mỗi thiết diện vuông góc với trục \(\displaystyle Ox\) là một hình vuông.
Cho hình ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x = a,x = b. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay ( H ) quanh trục (Ox ) là:
Cho hàm số \(y=f( x ) ,y=g( x )\) liên tục trên [ a;b ]. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y=f( x ), y=g( x) và các đường thẳng x=a, x=b. Diện tích H được tính theo công thức
Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi: \(\displaystyle y = {(2x + 1)^{\frac{1}{3}}},x = 0,y = 3\), quanh trục \(\displaystyle Oy\).
Thể tích của khối tròn xoay tạo nên do quay quanh trục \(\displaystyle Ox\) hình phẳng giới hạn bởi các đường \(\displaystyle y = {\left( {1 - x} \right)^2},y = 0\), \(\displaystyle x = 0\) và \(\displaystyle x = 2\) bằng
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=0\) và \(x = {{7\pi } \over 6}\)
Cho hình phẳng H giới hạn bởi \(y= {\frac{1}{3}{x^3} - {x^2}}\) và Ox. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay H quanh Ox bằng :
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f( x ) \) liên tục trên đoạn [ 1; 3 ], trục Ox và hai đường thẳng (x=1, x=3 ) có diện tích là:
Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng ( ) H giới hạn bởi các đường \(\begin{aligned} &(P): y=x^{2},\left(P^{\prime}\right): y=4 x^{2} \text { và } \text { (d): } y=4 \end{aligned}\) . Thể tích của khối tròn xoay khi quay (H ) quanh trục
Ox bằng
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = {x^2}\) và \(y = - {x^2} - 2x\)
Nam và Hùng tập sút phạt, ai sút trúng gôn nhiều hơn là người thẳng cuộc. Nếu để bóng ở vị trí A thì xác suất trúng vào gôn của Nam là 0,9 còn của Hùng là 0,7. Nếu để bóng ở vị trí B thì xác suất trúng vào gôn của Nam là 0,7 còn của Hùng là 0,8. Nam và Hùng đều đá một quả ở vị trí A và một quả ở vị trí B. Xác suất để Nam thắng cuộc là: