Cho a > b > 0. Đường elip (E) có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1.\) Diện tích của hình elip (E) là
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Xét hình phẳng D giới hạn bởi các trục Ox, Oy và đồ thị của hàm số \(y = b\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} .\) Diện tích elip bằng 4 lần diện tích hình phẳng D.
\(S = 4\mathop \smallint \nolimits_0^a b\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} dx.\)
Đặt x = asint ⇒ dx = acostdt.
\(\begin{array}{l} S = 4\mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{\pi }{2}} b\sqrt {1 - {{\sin }^2}t} .a\cos tdt = 4ab\mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos ^2}tdt\\ = 4ab\mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{{1 + c{\rm{os2t}}}}{2}dt = 2abt|_0^{\frac{\pi }{2}} + absin2t|_0^{\frac{\pi }{2}} = \pi ab. \end{array}\)
